Номер 7, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 7, страница 153.

Условие.

16.7. Докажите, что в любой призме количество вершин является чётным числом, а количество рёбер – числом, кратным 3.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим произвольную призму. В основании любой призмы лежит многоугольник. Обозначим количество вершин (и сторон) этого многоугольника буквой $n$. По определению многоугольника, $n$ является натуральным числом, не меньшим 3 ($n \ge 3$).

Доказательство того, что количество вершин является чётным числом

У призмы есть два основания: нижнее и верхнее. Каждое из них является $n$-угольником и, следовательно, имеет $n$ вершин.
Общее количество вершин призмы, обозначим его $V$, равно сумме количества вершин её оснований, так как все вершины призмы принадлежат её основаниям.
$V = n_{\text{нижнее основание}} + n_{\text{верхнее основание}} = n + n = 2n$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то произведение $2n$ по определению является чётным числом. Таким образом, количество вершин в любой призме всегда является чётным.

Ответ: количество вершин $n$-угольной призмы равно $2n$, что является чётным числом.

Доказательство того, что количество рёбер — числом, кратным 3

Рёбра призмы можно разделить на три группы: рёбра нижнего основания, рёбра верхнего основания и боковые рёбра, соединяющие соответствующие вершины оснований.
Количество рёбер нижнего основания равно количеству сторон $n$-угольника, то есть $n$.
Аналогично, количество рёбер верхнего основания также равно $n$.
Боковые рёбра соединяют каждую из $n$ вершин нижнего основания с соответствующей вершиной верхнего основания, следовательно, количество боковых рёбер также равно $n$.
Общее количество рёбер призмы, обозначим его $E$, равно сумме рёбер в этих трёх группах.
$E = n_{\text{рёбра нижнего основания}} + n_{\text{рёбра верхнего основания}} + n_{\text{боковые рёбра}} = n + n + n = 3n$.
Поскольку $n$ — натуральное число, то произведение $3n$ по определению является числом, кратным 3 (делится на 3 без остатка). Таким образом, количество рёбер в любой призме всегда кратно 3.

Ответ: количество рёбер $n$-угольной призмы равно $3n$, что является числом, кратным 3.