Номер 4, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 4, страница 153.

Условие.

16.4. Докажите утверждение: если две соседние грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой. Будет ли данное утверждение верно, если из его формулировки исключить слово «соседние»?

Решение 1.

Решение 3.

Докажите утверждение: если две соседние грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой.

Пусть дана призма. Обозначим плоскость её основания как $\alpha$. Пусть $\pi_1$ и $\pi_2$ — это плоскости двух соседних боковых граней призмы.

Согласно условию задачи, эти плоскости перпендикулярны плоскости основания, то есть $\pi_1 \perp \alpha$ и $\pi_2 \perp \alpha$.

Так как грани $\pi_1$ и $\pi_2$ являются соседними, они имеют общее боковое ребро. Прямая, содержащая это боковое ребро, является линией пересечения плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$. Обозначим эту прямую как $l$. Таким образом, $l = \pi_1 \cap \pi_2$.

В стереометрии существует теорема: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

Применим эту теорему к нашей задаче. Плоскости $\pi_1$ и $\pi_2$ пересекаются по прямой $l$ и обе перпендикулярны плоскости $\alpha$. Из этого следует, что прямая $l$ перпендикулярна плоскости основания $\alpha$.

Прямая $l$ содержит одно из боковых ребер призмы. По определению призмы, все её боковые ребра параллельны друг другу. Если одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то и все остальные боковые ребра также перпендикулярны ей.

Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой.

Следовательно, исходная призма является прямой. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

Будет ли данное утверждение верно, если из его формулировки исключить слово «соседние»?

Рассмотрим новое утверждение: «Если две грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой». Данное утверждение не является верным. Для доказательства его ложности достаточно привести контрпример.

Рассмотрим наклонную призму, основанием которой служит трапеция $A_1A_2A_3A_4$ с параллельными сторонами $A_1A_2$ и $A_4A_3$. Верхним основанием будет соответственно трапеция $B_1B_2B_3B_4$.

Боковые грани, построенные на параллельных сторонах основания ($A_1A_2B_2B_1$ и $A_4A_3B_3B_4$), не являются соседними (при условии, что основание — не вырожденная в треугольник трапеция).

Можно сконструировать такую наклонную призму, у которой боковые ребра будут наклонены к плоскости основания, но при этом плоскости граней $A_1A_2B_2B_1$ и $A_4A_3B_3B_4$ будут перпендикулярны плоскости основания.

Для наглядности воспользуемся системой координат. Пусть плоскость основания $A_1A_2A_3A_4$ совпадает с плоскостью $Oxy$. Прямую, содержащую сторону $A_1A_2$, расположим на оси $Ox$. Тогда прямая, содержащая $A_4A_3$, будет также параллельна оси $Ox$. Пусть вектор бокового ребра, например $\vec{A_1B_1}$, равен $\vec{e} = (k, 0, m)$, где $k \neq 0$ и $m > 0$.

Так как $k \neq 0$, вектор бокового ребра $\vec{e}$ не параллелен оси $Oz$ (которая перпендикулярна основанию), следовательно, боковые ребра не перпендикулярны основанию, и призма является наклонной.

Рассмотрим грань $A_1A_2B_2B_1$. Она содержит ось $Ox$ и вектор $\vec{e}=(k, 0, m)$. Все точки этой грани имеют координату $y=0$, то есть она лежит в плоскости $Oxz$. Плоскость $Oxz$ перпендикулярна плоскости основания $Oxy$.

Рассмотрим грань $A_4A_3B_3B_4$. Она содержит прямую $A_4A_3$, параллельную $Ox$, и также определяется вектором $\vec{e}=(k, 0, m)$. Эта плоскость будет параллельна плоскости $Oxz$ и, следовательно, тоже перпендикулярна плоскости основания $Oxy$.

В результате мы имеем наклонную призму, у которой две не-соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Это является контрпримером к измененному утверждению.

Ответ: Нет, данное утверждение будет неверно, если исключить слово «соседние».