Номер 11, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 11, страница 154.

Условие.

Рис. 16.15

16.11 Через диагональ $AC$ основания правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $45^\circ$ и пересекающая ребро $BB_1$ в точке $M$ (рис. 16.15). Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 8 см.

Решение 1.

Решение 3.

16.11.

По условию, дана правильная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит квадрат $ABCD$. Сторона основания равна 8 см. Сечение проходит через диагональ основания $AC$ и пересекает ребро $BB_1$ в точке $M$. Образовавшееся сечение — это треугольник $AMC$.

Площадь треугольника $AMC$ можно найти по формуле: $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO$, где $MO$ — высота, проведенная к основанию $AC$.

1. Найдем длину диагонали основания $AC$. Так как $ABCD$ — квадрат со стороной 8 см, то из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора получаем:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{2 \cdot 64} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Угол между плоскостью сечения $(AMC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Их общая линия пересечения — $AC$.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Так как диагонали квадрата перпендикулярны, то $BO \perp AC$.
Призма прямая, поэтому ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Отсюда следует, что $MB \perp (ABC)$, и $BO$ является проекцией наклонной $MO$ на плоскость основания.
По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $BO$ перпендикулярна прямой $AC$, то и сама наклонная $MO$ перпендикулярна $AC$.
Следовательно, угол $\angle MOB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(AMC)$ и $(ABC)$. По условию, $\angle MOB = 45^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $MBO$. Так как $MB \perp (ABC)$, то $MB \perp BO$. Значит, $\triangle MBO$ — прямоугольный.
Найдем длину катета $BO$. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, поэтому:
$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

4. В прямоугольном треугольнике $MBO$ известны катет $BO = 4\sqrt{2}$ см и угол $\angle MOB = 45^\circ$. Найдем высоту $MO$, которая является гипотенузой в этом треугольнике.
$\cos(\angle MOB) = \frac{BO}{MO}$
$MO = \frac{BO}{\cos(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8$ см.

5. Теперь вычислим площадь сечения, треугольника $AMC$:
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².

16.12.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ — периметр основания призмы, а $h$ — ее высота.

По условию, высота призмы $h = 6$ см, а основанием является параллелограмм.

Для вычисления периметра параллелограмма необходимо знать длины его сторон. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Тогда его периметр равен $P = 2(a+b)$.

Текст условия задачи на изображении неполный и не содержит информации о размерах сторон параллелограмма. Без этих данных невозможно вычислить периметр основания и, следовательно, площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: Для решения задачи недостаточно данных.