Номер 8, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 8, страница 153.

Условие.

16.8. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 3 см, а высота – $3\sqrt{6}$ см. Найдите диагональ призмы.

Решение 1.

Решение 3.

По определению, правильная четырехугольная призма — это прямая призма, основанием которой является квадрат.

Пусть $a$ — сторона основания призмы, $h$ — высота призмы, а $d$ — диагональ призмы. Из условия задачи имеем:
Сторона основания $a = 3$ см.
Высота $h = 3\sqrt{6}$ см.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда (которым является данная призма) равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты).

Формула для нахождения квадрата диагонали: $d^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2$.

Подставим заданные значения в формулу:

$d^2 = 2 \cdot (3)^2 + (3\sqrt{6})^2$

Выполним вычисления:

$d^2 = 2 \cdot 9 + 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2$

$d^2 = 18 + 9 \cdot 6$

$d^2 = 18 + 54$

$d^2 = 72$

Теперь найдём длину диагонали, извлекая квадратный корень из полученного значения:

$d = \sqrt{72}$

Упростим корень:

$d = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Таким образом, диагональ призмы равна $6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.