Номер 10, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 10, страница 153.

Условие.

16.10. Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $AC$ и $BC$ соответственно правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 16.14). Плоскость, проходящая через прямую $DE$ и образующая с плоскостью $ABC$ угол $30^\circ$, пересекает ребро $CC_1$ в точке $F$. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 12 см.

Рис. 16.13

Рис. 16.14

Решение 1.

Решение 3.

По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, следовательно, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Сторона основания $AB = BC = AC = 12$ см.

Точки $D$ и $E$ являются серединами ребер $AC$ и $BC$ соответственно. Это означает, что отрезок $DE$ — средняя линия треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:$DE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Секущая плоскость проходит через прямую $DE$ и пересекает ребро $CC_1$ в точке $F$, образуя сечение — треугольник $DEF$.

Поскольку боковые ребра правильной призмы перпендикулярны основанию, ортогональной проекцией сечения $DEF$ на плоскость основания $ABC$ будет треугольник $DCE$.

Площадь ортогональной проекции фигуры связана с площадью самой фигуры следующей формулой:$S_{проекции} = S_{фигуры} \cdot \cos(\alpha)$,где $\alpha$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В нашей задаче $S_{DCE} = S_{DEF} \cdot \cos(30^\circ)$. Отсюда можно выразить искомую площадь сечения:$S_{DEF} = \frac{S_{DCE}}{\cos(30^\circ)}$.

Найдем площадь треугольника $DCE$. Так как $D$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $BC$, то $CD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см и $CE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Угол $\angle C$ в основании равен $60^\circ$, так как треугольник $ABC$ равносторонний.

Площадь треугольника $DCE$ можно вычислить по формуле:$S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CE \cdot \sin(\angle C)$$S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь найдем площадь сечения $DEF$:$S_{DEF} = \frac{S_{DCE}}{\cos(30^\circ)} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 18$ см$^2$.

Ответ: $18$ см$^2$.