Номер 5, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 5, страница 153.

Условие.

16.5. Верно ли утверждение:

1) боковое ребро прямой призмы перпендикулярно любой диагонали её основания;

2) если все рёбра призмы равны, то она является правильной;

3) если все рёбра прямой призмы равны, то она является правильной?

Решение 1.

Решение 3.

1) боковое ребро прямой призмы перпендикулярно любой диагонали её основания;

По определению, прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Пусть $L$ — боковое ребро прямой призмы, а $P$ — плоскость одного из её оснований. Тогда по определению боковое ребро перпендикулярно плоскости основания: $L \perp P$. Диагональ основания — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, лежащего в основании. Любая диагональ основания, как и любая другая прямая, принадлежащая основанию, целиком лежит в плоскости основания $P$. Согласно свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, боковое ребро $L$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости $P$, включая любую диагональ основания. Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) если все рёбра призмы равны, то она является правильной;

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Чтобы призма была правильной, должны одновременно выполняться два условия: 1. Призма должна быть прямой (т.е. её боковые рёбра перпендикулярны основаниям). 2. Основание призмы должно быть правильным многоугольником (т.е. многоугольником, у которого все стороны и все углы равны).

Утверждение "если все рёбра призмы равны, то она является правильной" является неверным, так как из равенства всех рёбер не следует выполнение ни одного из этих двух условий.

Во-первых, призма может быть наклонной. В этом случае, даже если все её рёбра равны, она не является прямой, а значит, и не является правильной. Во-вторых, равенство всех сторон многоугольника в основании не гарантирует, что этот многоугольник является правильным. Например, ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны, но если его углы не прямые, он не является правильным многоугольником (квадратом).

В качестве контрпримера можно привести наклонную призму, в основании которой лежит ромб, и все рёбра которой (и стороны основания, и боковые) равны между собой. Такая призма не является правильной.

Ответ: Неверно.

3) если все рёбра прямой призмы равны, то она является правильной?

В этом утверждении дано, что призма является прямой. Таким образом, первое условие для правильной призмы (быть прямой) выполнено. Теперь необходимо проверить второе условие: является ли основание правильным многоугольником.

По условию, все рёбра призмы равны. Это означает, что все стороны многоугольника в основании равны между собой. Однако многоугольник с равными сторонами (равносторонний многоугольник) не обязательно является правильным. Для того чтобы многоугольник был правильным, у него должны быть равны не только стороны, но и все углы.

Приведём контрпример. Рассмотрим прямую призму, основанием которой является ромб, не являющийся квадратом. Пусть сторона ромба равна $a$. Так как призма прямая, её высота равна длине бокового ребра. По условию, все рёбра равны, значит, боковое ребро также равно $a$. В итоге мы имеем прямую призму, все рёбра которой равны $a$. Однако её основание — ромб, который не является правильным многоугольником. Следовательно, и сама призма не является правильной.

Ответ: Неверно.