Номер 1, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 1, страница 153.

Условие.

16.1. Какое наименьшее количество граней может иметь призма? Сколько эта призма имеет: 1) вершин; 2) рёбер; 3) боковых рёбер?

Решение 1.

Решение 3.

Призма — это многогранник, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, а боковыми гранями — параллелограммы.

Количество граней любой призмы зависит от количества сторон многоугольника в её основании. Пусть в основании призмы лежит n-угольник. Тогда у призмы есть 2 основания и n боковых граней. Общее число граней ($Г$) вычисляется по формуле: $Г = n + 2$.

Чтобы найти наименьшее возможное количество граней, необходимо выбрать многоугольник с наименьшим возможным числом сторон. Самый простой многоугольник — это треугольник, у которого 3 стороны. Следовательно, минимальное значение для $n$ равно 3.

Подставив это значение в формулу, получим наименьшее количество граней:
$Г_{min} = 3 + 2 = 5$.
Такая призма называется треугольной.

Ответ: 5.

Теперь определим количество вершин, рёбер и боковых рёбер для этой призмы (треугольной призмы, у которой $n=3$).

1) вершин
Количество вершин n-угольной призмы равно удвоенному количеству вершин её основания. У треугольного основания 3 вершины.
Число вершин ($В$) равно: $В = 2 \cdot n = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6.

2) рёбер
Общее количество рёбер n-угольной призмы складывается из рёбер верхнего основания ($n$), рёбер нижнего основания ($n$) и боковых рёбер ($n$).
Общее число рёбер ($Р$) равно: $Р = 3 \cdot n = 3 \cdot 3 = 9$.
Ответ: 9.

3) боковых рёбер
Количество боковых рёбер n-угольной призмы равно количеству вершин (или сторон) многоугольника в её основании.
Число боковых рёбер ($Р_{бок}$) равно: $Р_{бок} = n = 3$.
Ответ: 3.