Страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют многогранником ?

Многогранником называется геометрическое тело, ограниченное со всех сторон замкнутой поверхностью, которая состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники, образующие поверхность многогранника, называются его гранями.

К основным элементам многогранника относят:
• Грани – это многоугольники (например, треугольники, квадраты, пятиугольники), из которых составлена поверхность многогранника.
• Рёбра – это отрезки, которые являются сторонами граней. Каждое ребро принадлежит одновременно двум граням (эти грани называют смежными).
• Вершины – это точки, в которых сходятся рёбра многогранника. Каждая вершина является также вершиной нескольких граней.

Простейшими и наиболее известными примерами многогранников являются куб, параллелепипед, призма и пирамида.

Многогранник называется выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Иначе говоря, любой отрезок, соединяющий две точки выпуклого многогранника, полностью находится внутри этого многогранника. Все призмы, пирамиды и правильные многогранники являются выпуклыми.

Ответ: Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников (граней).

2. Какие грани многогранника называют соседними?

Две грани многогранника называются соседними (или смежными), если они имеют общее ребро.

Рассмотрим в качестве примера куб. Куб имеет 6 квадратных граней. Если взять одну из граней, например, верхнюю, то она имеет 4 ребра. Каждое из этих ребер является общим еще для одной грани — одной из боковых. Таким образом, верхняя грань имеет 4 соседние грани (все боковые грани). Нижняя грань не имеет общего ребра с верхней, поэтому они не являются соседними, а называются противолежащими.

В общем случае у любой грани выпуклого многогранника столько соседних граней, сколько у неё сторон (ребер).

Ответ: Соседними называют грани многогранника, имеющие общее ребро.

3. Что называют двугранным углом многогранника?

Двугранным углом многогранника называют геометрическую фигуру в пространстве, образованную двумя его смежными гранями, которые исходят из одного общего ребра. Эти плоскости, содержащие грани, называют гранями двугранного угла, а их общее ребро — ребром двугранного угла.

Величина двугранного угла измеряется с помощью его линейного угла. Для построения линейного угла необходимо выбрать на ребре произвольную точку и через неё провести плоскость, перпендикулярную этому ребру. Линии пересечения этой плоскости с гранями двугранного угла образуют два луча, выходящие из выбранной точки на ребре. Угол между этими лучами и является линейным углом. Его градусная мера, которая может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$, и есть величина двугранного угла.

Ответ: Двугранный угол многогранника — это угол, образованный двумя смежными гранями многогранника, имеющими общее ребро. Его мерой является величина соответствующего ему линейного угла.

4. Какой многогранник называют выпуклым?

Многогранник называют выпуклым, если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных определений.

Определение через плоскости граней: Многогранник является выпуклым, если он целиком расположен по одну сторону от плоскости, содержащей любую из его граней. Это означает, что если мы мысленно продолжим любую грань многогранника до бесконечной плоскости, то весь многогранник окажется в одном из двух полупространств, на которые эта плоскость делит всё пространство.

Определение через отрезки: Многогранник является выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, полностью принадлежит этому многограннику. Если можно найти хотя бы две точки, принадлежащие многограннику, такие что отрезок между ними частично выходит за его пределы, то такой многогранник не является выпуклым (его называют также вогнутым или невыпуклым).

Проще говоря, у выпуклого многогранника нет «вмятин» или «углублений». Все его внутренние двугранные углы (углы между смежными гранями) не превышают $180^\circ$ (или $ \pi $ радиан).

Примерами выпуклых многогранников являются все правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр), а также любые призмы и пирамиды, у которых основания являются выпуклыми многоугольниками.

Ответ: Выпуклым называют многогранник, который расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Эквивалентное определение: многогранник является выпуклым, если он вместе с любыми двумя своими точками содержит и весь соединяющий их отрезок.

5. Что называют призмой?

Призма — это геометрическое тело, являющееся многогранником, которое ограничено двумя равными и параллельными многоугольниками (называемыми основаниями) и несколькими параллелограммами (называемыми боковыми гранями), соединяющими соответствующие стороны оснований.

Рассмотрим основные элементы и виды призм.

• Основания — два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях.
• Боковые грани — параллелограммы, которые соединяют основания. Количество боковых граней равно количеству сторон многоугольника в основании.
• Боковые рёбра — отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований. Они параллельны и равны между собой.
• Высота призмы ($H$) — перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к плоскости другого. Это кратчайшее расстояние между основаниями.

Призмы классифицируют по двум основным признакам:

1. По форме основания:

   • Треугольная призма — в основании треугольник.
   • Четырёхугольная призма — в основании четырёхугольник (например, параллелепипед).
   • Пятиугольная призма — в основании пятиугольник, и так далее. В общем случае призма называется n-угольной, если в её основании лежит n-угольник.

2. По наклону боковых рёбер к основанию:

   • Прямая призма — призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками, а её высота совпадает с длиной бокового ребра.
   • Наклонная призма — призма, у которой боковые рёбра не перпендикулярны основаниям. Боковые грани такой призмы — параллелограммы.

Отдельно выделяют правильную призму. Это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (например, равносторонний треугольник, квадрат).

Для призмы с площадью основания $S_{осн}$, периметром основания $P_{осн}$ и высотой $H$ справедливы следующие формулы:

• Объём призмы: $V = S_{осн} \cdot H$
• Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$
• Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Ответ: Призмой называют многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

6. Что называют высотой призмы?

Высотой призмы называют расстояние между плоскостями, в которых лежат её основания.

Геометрически это длина перпендикуляра, который можно провести из любой точки одного основания к плоскости другого основания. Высоту призмы принято обозначать буквой $h$.

Важно понимать различие между высотой в прямой и наклонной призмах:

• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям, поэтому её высота равна длине бокового ребра.
• У наклонной призмы боковые рёбра наклонены к основаниям, поэтому её высота $h$ всегда короче бокового ребра $l$.

Высота является ключевым параметром для вычисления объёма призмы по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы.

Ответ: Высотой призмы называют расстояние между плоскостями её оснований, которое измеряется длиной перпендикуляра, проведённого из точки одного основания к плоскости другого.

7. Какую призму называют прямой? наклонной?

прямой

Прямой называют призму, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскостям её оснований. Это означает, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $90^\circ$. Вследствие этого, все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками, а высота призмы совпадает с длиной её бокового ребра. Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма называется правильной.

Ответ: Призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

наклонной

Наклонной называют призму, у которой боковые рёбра не перпендикулярны плоскостям оснований. Они наклонены к основаниям под углом, отличным от $90^\circ$. У наклонной призмы боковые грани являются параллелограммами (в общем случае, не прямоугольниками). Высота наклонной призмы — это перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к плоскости другого. Длина высоты наклонной призмы всегда меньше длины её бокового ребра.

Ответ: Призма, у которой боковые рёбра не перпендикулярны основаниям.

8. Какую призму называют правильной?

8. Правильной призмой называется прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

Это определение означает, что призма является правильной, если она удовлетворяет двум условиям одновременно:

1. Призма является прямой. Прямая призма — это такая призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Из этого следует, что все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками, а высота призмы равна длине ее бокового ребра.

2. В основании призмы лежит правильный многоугольник. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все внутренние углы равны. Например, равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и т.д.

Таким образом, у правильной призмы можно выделить следующие свойства:

• Основания являются равными правильными многоугольниками.
• Боковые грани являются равными прямоугольниками.
• Боковые ребра перпендикулярны основаниям.
• Высота призмы равна ее боковому ребру.

Примерами правильных призм являются куб (правильная четырехугольная призма, у которой все ребра равны) и правильная треугольная призма (в основании — равносторонний треугольник, боковые грани — равные прямоугольники).

Ответ: Правильная призма — это прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник.

9. Что называют диагональным сечением призмы?

9. Диагональным сечением призмы называют сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, которые не принадлежат одной и той же грани.

Для построения такого сечения необходимо выбрать диагональ в одном из оснований призмы и провести через нее плоскость, которая также будет проходить через боковые ребра, исходящие из вершин этой диагонали. Например, для шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ можно выбрать диагональ основания $AD$. Тогда плоскость, проходящая через ребра $AA_1$ и $DD_1$, образует диагональное сечение $ADD_1A_1$.

Основные свойства диагонального сечения:

• Фигурой, полученной в диагональном сечении призмы, всегда является параллелограмм. Это связано с тем, что боковые ребра любой призмы параллельны и равны друг другу.
• Если призма является прямой (т.е. ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания), то ее диагональное сечение будет прямоугольником.
• Если призма является правильной (прямая призма с правильным многоугольником в основании), то ее диагональные сечения также будут прямоугольниками.

Количество различных диагональных сечений в $n$-угольной призме равно количеству диагоналей в ее основании, которое вычисляется по формуле: $k = \frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — количество вершин многоугольника в основании.

Ответ: Диагональное сечение призмы — это сечение плоскостью, которое проходит через два боковых ребра, не лежащих в одной грани.

10. Что называют площадью боковой поверхности призмы?

Боковая поверхность призмы — это совокупность всех её боковых граней. Боковые грани любой призмы являются параллелограммами.

Площадью боковой поверхности призмы называют сумму площадей всех её боковых граней.

Метод вычисления этой площади зависит от типа призмы.

• Для прямой призмы (у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а боковые грани — прямоугольники) площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.

  Формула: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

• Для наклонной призмы площадь боковой поверхности равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

  Формула: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр сечения, перпендикулярного боковым рёбрам, а $l$ — длина бокового ребра.

Таким образом, независимо от типа призмы, основополагающим определением является сумма площадей всех её боковых граней.

Ответ: Площадью боковой поверхности призмы называют сумму площадей всех её боковых граней.

11. Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?

Площадь боковой поверхности прямой призмы определяется как сумма площадей всех её боковых граней.

У прямой призмы боковые грани представляют собой прямоугольники. Основаниями этих прямоугольников служат стороны многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты этих прямоугольников равны высоте самой призмы (которая совпадает с боковым ребром).

Пусть в основании n-угольной прямой призмы лежит многоугольник со сторонами $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Высота призмы равна $h$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ — это сумма площадей $n$ боковых граней-прямоугольников:

$S_{бок} = a_1h + a_2h + \ldots + a_nh$

Если вынести общий множитель $h$ за скобки, получим:

$S_{бок} = (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \cdot h$

Выражение в скобках $(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)$ является периметром основания призмы. Обозначим его как $P_{осн}$.

Следовательно, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания на высоту. Формула для вычисления имеет вид:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Ответ: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания на высоту. Формула для вычисления: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, $P_{осн}$ — периметр основания призмы, а $h$ — высота призмы.