Номер 22, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 16. Призма. Глава 4. Многогранники - номер 22, страница 155.

Условие.

16.22. Основанием прямой призмы, диагонали которой равны 10 см и 16 см, является ромб. Найдите сторону основания призмы, если её высота равна 4 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием прямой призмы является ромб со стороной $a$ и диагоналями $d_1$ и $d_2$. Высота призмы равна $h$, а диагонали призмы равны $D_1$ и $D_2$. По условию задачи $h = 4$ см, $D_1 = 10$ см, $D_2 = 16$ см.

Для прямой призмы квадрат ее диагонали равен сумме квадратов соответствующей диагонали основания и высоты призмы. Связь между диагоналями призмы, диагоналями основания и высотой можно выразить с помощью теоремы Пифагора:
$D_1^2 = d_1^2 + h^2$
$D_2^2 = d_2^2 + h^2$

Подставим известные значения и найдем квадраты диагоналей ромба:
$d_1^2 = D_1^2 - h^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84$ (см$^2$)
$d_2^2 = D_2^2 - h^2 = 16^2 - 4^2 = 256 - 16 = 240$ (см$^2$)

В ромбе диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Сторона ромба $a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$). По теореме Пифагора для этого треугольника:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}$

Подставим найденные значения $d_1^2$ и $d_2^2$ в эту формулу:
$a^2 = \frac{84}{4} + \frac{240}{4} = 21 + 60 = 81$

Теперь найдем длину стороны основания $a$:
$a = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.