Вариант 2, страница 17 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 2. Электромагнитные колебания. Колебания и волны - страница 17.

Условие.

Вариант 3

1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и плоского воздушного конденсатора. Как изменится частота колебаний в контуре, если конденсатор заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 81?

2. В колебательном контуре катушка обладает индуктивностью 0,0002 Гн, конденсатор — ёмкостью 1 мкФ. После того как конденсатор зарядили до разности потенциалов 100 В, в контуре начались колебания. Определите значение силы тока в катушке, когда энергия магнитного поля станет равной энергии электрического поля.

Решение.

1.

Частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$, где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – ёмкость конденсатора.

Пусть начальная ёмкость воздушного конденсатора равна $C_1$. Тогда начальная частота колебаний $f_1$ равна: $f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$.

При заполнении конденсатора диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, его ёмкость увеличивается в $\varepsilon$ раз. Новая ёмкость $C_2$ будет равна: $C_2 = \varepsilon C_1$.

Новая частота колебаний $f_2$ будет равна: $f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(\varepsilon C_1)}} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \cdot \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \frac{f_1}{\sqrt{\varepsilon}}$.

Подставим значение диэлектрической проницаемости $\varepsilon = 81$: $f_2 = \frac{f_1}{\sqrt{81}} = \frac{f_1}{9}$.

Таким образом, частота колебаний в контуре уменьшится в 9 раз.

Ответ: Частота колебаний уменьшится в 9 раз.

2.

Дано:
Индуктивность катушки, $L = 0,0002$ Гн
Ёмкость конденсатора, $C = 1$ мкФ
Начальное напряжение на конденсаторе, $U_{max} = 100$ В
Условие: $W_L = W_C$

Перевод в систему СИ:
$L = 0,0002 \text{ Гн} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ Гн}$
$C = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:
Силу тока в катушке, $I$ - ?

Решение:
Полная энергия колебательного контура $W$ в идеальном случае (без потерь) сохраняется. В начальный момент времени, когда конденсатор полностью заряжен, а ток в катушке равен нулю, вся энергия контура сосредоточена в электрическом поле конденсатора и является максимальной: $W = W_{E_{max}} = \frac{CU_{max}^2}{2}$.

В произвольный момент времени полная энергия контура является суммой энергии магнитного поля катушки $W_L$ и энергии электрического поля конденсатора $W_C$: $W = W_L + W_C$, где $W_L = \frac{LI^2}{2}$ и $W_C = \frac{CU^2}{2}$.

По условию задачи, необходимо найти силу тока в тот момент, когда энергия магнитного поля равна энергии электрического поля: $W_L = W_C$.

В этот момент полная энергия контура может быть выражена как: $W = W_L + W_C = W_L + W_L = 2W_L$.

Используя закон сохранения энергии, приравняем начальную полную энергию к полной энергии в рассматриваемый момент: $W_{E_{max}} = 2W_L$.

Подставим выражения для энергий: $\frac{CU_{max}^2}{2} = 2 \cdot \frac{LI^2}{2}$.
Упростив, получаем: $\frac{CU_{max}^2}{2} = LI^2$.

Выразим квадрат силы тока $I^2$: $I^2 = \frac{CU_{max}^2}{2L}$.

Тогда сила тока $I$ равна: $I = \sqrt{\frac{CU_{max}^2}{2L}} = U_{max}\sqrt{\frac{C}{2L}}$.

Подставим числовые значения в системе СИ и произведем вычисления: $I = 100 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{2 \cdot (2 \cdot 10^{-4} \text{ Гн})}} = 100 \cdot \sqrt{\frac{10^{-6}}{4 \cdot 10^{-4}}} = 100 \cdot \sqrt{0,25 \cdot 10^{-2}}$.
$I = 100 \cdot (0,5 \cdot 10^{-1}) = 100 \cdot 0,05 = 5 \text{ А}$.

Ответ: 5 А.