Вариант 5, страница 16 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 1. Механические колебания. Колебания и волны - страница 16.

Условие.

Вариант 5*

1. Материальная точка совершает синусоидальные гармонические колебания. При фазе $30^\circ$ смещение точки от положения равновесия составляет 5 мм. Определите амплитуду колебаний.

1) 1 см 2) 2,5 мм 3) 1 мм 4) 0,025 м

2. Две одинаковые пружины с жёсткостью 200 Н/м соединили параллельно. К пружинам прикрепили груз массой 1 кг. Чему равна циклическая частота собственных колебаний полученного маятника?

Решение.

1.

Дано:

Фаза колебаний: $\phi = 30^\circ$
Смещение точки от положения равновесия: $x = 5$ мм

$x = 5 \text{ мм} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Амплитуда колебаний $A$ - ?

Решение:

Уравнение гармонических синусоидальных колебаний связывает смещение ($x$), амплитуду ($A$) и фазу ($\phi$) следующим образом:

$x = A \sin(\phi)$

Для нахождения амплитуды выразим её из данной формулы:

$A = \frac{x}{\sin(\phi)}$

Подставим известные значения в формулу. Значение синуса для угла $30^\circ$ является табличным и равно $0.5$.

$A = \frac{5 \text{ мм}}{\sin(30^\circ)} = \frac{5 \text{ мм}}{0.5} = 10 \text{ мм}$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа, предварительно переведя его в сантиметры:

$10 \text{ мм} = 1 \text{ см}$

Данное значение соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 1 см.

2.

Дано:

Жесткость первой пружины: $k_1 = 200$ Н/м
Жесткость второй пружины: $k_2 = 200$ Н/м
Масса груза: $m = 1$ кг
Соединение пружин: параллельное

Найти:

Циклическая частота собственных колебаний $\omega$ - ?

Решение:

При параллельном соединении пружин их общая (эквивалентная) жёсткость $k_{общ}$ вычисляется как сумма жёсткостей отдельных пружин:

$k_{общ} = k_1 + k_2$

Подставим значения:

$k_{общ} = 200 \text{ Н/м} + 200 \text{ Н/м} = 400 \text{ Н/м}$

Циклическая частота ($\omega$) собственных колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

В данном случае в качестве жёсткости $k$ используется общая жёсткость системы пружин $k_{общ}$:

$\omega = \sqrt{\frac{k_{общ}}{m}}$

Подставим числовые значения массы и общей жёсткости в формулу:

$\omega = \sqrt{\frac{400 \text{ Н/м}}{1 \text{ кг}}} = \sqrt{400} \text{ рад/с} = 20 \text{ рад/с}$

Ответ: 20 рад/с.