Вариант 1, страница 16 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 2. Электромагнитные колебания. Колебания и волны - страница 16.

Условие.

Самостоятельная работа № 2

Электромагнитные колебания

Вариант 1

1. В идеальном колебательном контуре происходят колебания. Изменение заряда на пластинах конденсатора происходит по закону $q = 0,25\sin 0,2\pi t$ (мкКл). Определите максимальное значение напряжения на конденсаторе этого колебательного контура, если ёмкость конденсатора равна 200 пФ. Чему равен период колебаний в контуре?

2. Колебательный контур состоит из проволочной катушки с индуктивностью $L = 4$ Гн и конденсатора ёмкостью $C = 10^{-6}$ Ф. Определите максимальное значение тока в контуре, если конденсатор зарядили до разности потенциалов 300 В.

Решение.

1. В идеальном колебательном контуре происходят колебания. Изменение заряда на пластинах конденсатора происходит по закону q = 0,25sin0,2πt (мкКл). Определите максимальное значение напряжения на конденсаторе этого колебательного контура, если ёмкость конденсатора равна 200 пФ. Чему равен период колебаний в контуре?

Дано:

Закон изменения заряда $q(t) = 0,25 \sin(0,2\pi t)$ мкКл
Ёмкость конденсатора $C = 200$ пФ

Перевод в систему СИ:
Амплитудное (максимальное) значение заряда $q_{max} = 0,25$ мкКл = $0,25 \cdot 10^{-6}$ Кл
Ёмкость $C = 200$ пФ = $200 \cdot 10^{-12}$ Ф = $2 \cdot 10^{-10}$ Ф

Найти:

Максимальное значение напряжения $U_{max}$
Период колебаний $T$

Решение:

Уравнение колебаний заряда в контуре имеет общий вид $q(t) = q_{max} \sin(\omega t)$, где $q_{max}$ — амплитуда (максимальное значение) заряда, а $\omega$ — циклическая частота колебаний.
Сравнивая это уравнение с заданным $q(t) = 0,25 \sin(0,2\pi t)$, находим:
Максимальный заряд $q_{max} = 0,25 \cdot 10^{-6}$ Кл.
Циклическая частота $\omega = 0,2\pi$ рад/с.

1. Максимальное значение напряжения на конденсаторе связано с максимальным зарядом и ёмкостью соотношением: $q_{max} = C \cdot U_{max}$
Отсюда выражаем максимальное напряжение: $U_{max} = \frac{q_{max}}{C}$
Подставляем числовые значения: $U_{max} = \frac{0,25 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}} = 0,125 \cdot 10^4 \text{ В} = 1250 \text{ В}$

2. Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ формулой: $T = \frac{2\pi}{\omega}$
Подставляем значение циклической частоты: $T = \frac{2\pi}{0,2\pi} = \frac{2}{0,2} = 10 \text{ с}$

Ответ: максимальное значение напряжения на конденсаторе равно 1250 В, а период колебаний в контуре равен 10 с.

2. Колебательный контур состоит из проволочной катушки с индуктивностью L = 4 Гн и конденсатора ёмкостью C = 10^-6 Ф. Определите максимальное значение тока в контуре, если конденсатор зарядили до разности потенциалов 300 В.

Дано:

Индуктивность катушки $L = 4$ Гн
Ёмкость конденсатора $C = 10^{-6}$ Ф
Максимальное напряжение на конденсаторе $U_{max} = 300$ В
(Все данные уже в системе СИ)

Найти:

Максимальное значение тока $I_{max}$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Она периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно.
Максимальная энергия электрического поля конденсатора достигается в момент, когда напряжение на нём максимально ($U_{max}$), а ток в катушке равен нулю: $W_{C,max} = \frac{C U_{max}^2}{2}$
Максимальная энергия магнитного поля катушки достигается в момент, когда ток в ней максимален ($I_{max}$), а напряжение на конденсаторе равно нулю: $W_{L,max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$
Согласно закону сохранения энергии, максимальная энергия конденсатора равна максимальной энергии катушки: $W_{C,max} = W_{L,max}$
$\frac{C U_{max}^2}{2} = \frac{L I_{max}^2}{2}$
Выразим из этого равенства максимальный ток $I_{max}$:
$L I_{max}^2 = C U_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C U_{max}^2}{L}$
$I_{max} = \sqrt{\frac{C U_{max}^2}{L}} = U_{max} \sqrt{\frac{C}{L}}$
Подставим числовые значения: $I_{max} = 300 \text{ В} \cdot \sqrt{\frac{10^{-6} \text{ Ф}}{4 \text{ Гн}}} = 300 \cdot \sqrt{0,25 \cdot 10^{-6}} = 300 \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 150 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0,15 \text{ А}$

Ответ: максимальное значение тока в контуре равно 0,15 А.