Вариант 3, страница 17 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 2. Электромагнитные колебания. Колебания и волны - страница 17.

Условие.

Вариант 3

1. В плоском конденсаторе колебательного контура увеличили расстояние между пластинами в 4 раза. Как при этом изменилась частота электромагнитных колебаний?

2. В некоторый момент времени сила тока в колебательном контуре составляет 2 А, при этом энергия магнитного поля в 3 раза больше энергии электрического поля, сосредоточенного в конденсаторе ёмкостью 400 мкФ. Индуктивность катушки 0,03 Гн. Определите первоначальное значение напряжения на конденсаторе.

Решение.

1.

Частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – ёмкость конденсатора.

Ёмкость плоского конденсатора зависит от его геометрических параметров:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $S$ – площадь пластин, $d$ – расстояние между пластинами.

Из этой формулы видно, что ёмкость конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между его пластинами ($C \propto \frac{1}{d}$). По условию задачи, расстояние между пластинами увеличили в 4 раза ($d_2 = 4d_1$). Следовательно, ёмкость конденсатора уменьшилась в 4 раза:

$C_2 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d_2} = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{4d_1} = \frac{1}{4} C_1$

Теперь посмотрим, как изменение ёмкости повлияет на частоту колебаний. Из формулы Томсона видно, что частота обратно пропорциональна квадратному корню из ёмкости ($\nu \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$).

Найдём отношение новой частоты $\nu_2$ к первоначальной $\nu_1$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{1/(2\pi\sqrt{LC_2})}{1/(2\pi\sqrt{LC_1})} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$

Подставим соотношение $C_2 = \frac{1}{4}C_1$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{C_1}{(1/4)C_1}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, новая частота в 2 раза больше первоначальной.

Ответ: Частота электромагнитных колебаний увеличилась в 2 раза.

2.

Дано:

$i = 2$ А

$W_L = 3 W_C$

$C = 400$ мкФ $= 400 \cdot 10^{-6}$ Ф $= 4 \cdot 10^{-4}$ Ф

$L = 0,03$ Гн

Найти:

$U_{max}$ - ?

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. В любой момент времени она равна сумме энергии магнитного поля катушки ($W_L$) и энергии электрического поля конденсатора ($W_C$).

$W_{полная} = W_L + W_C$

Энергия магнитного поля катушки вычисляется по формуле:

$W_L = \frac{L i^2}{2}$

Максимальная энергия, запасённая в контуре, равна максимальной энергии электрического поля конденсатора, когда ток в катушке равен нулю. Эта энергия связана с первоначальным (максимальным) напряжением на конденсаторе $U_{max}$:

$W_{полная} = W_{C,max} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

Сначала найдем энергию магнитного поля в указанный момент времени, используя данные из условия:

$W_L = \frac{0,03 \cdot (2)^2}{2} = \frac{0,03 \cdot 4}{2} = 0,06$ Дж

По условию, в этот же момент времени энергия магнитного поля в 3 раза больше энергии электрического поля: $W_L = 3 W_C$.

Теперь найдем полную энергию контура в этот момент. Она будет оставаться постоянной в течение всего процесса колебаний.

$W_{полная} = W_L + W_C = W_L + \frac{W_L}{3} = \frac{4}{3} W_L$

$W_{полная} = \frac{4}{3} \cdot 0,06 = 4 \cdot 0,02 = 0,08$ Дж

Приравняем полную энергию контура к максимальной энергии конденсатора, чтобы найти первоначальное напряжение $U_{max}$:

$W_{полная} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

$U_{max}^2 = \frac{2 W_{полная}}{C}$

$U_{max}^2 = \frac{2 \cdot 0,08}{4 \cdot 10^{-4}} = \frac{0,16}{4 \cdot 10^{-4}} = \frac{16 \cdot 10^{-2}}{4 \cdot 10^{-4}} = 4 \cdot 10^2 = 400$

$U_{max} = \sqrt{400} = 20$ В

Ответ: Первоначальное значение напряжения на конденсаторе составляет 20 В.