Вариант 4, страница 16 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Колебания и волны. Самостоятельная работа № 1. Механические колебания - страница 16.

Условие.

Вариант 4

1. Математический маятник совершает колебания. Ученик выполнил измерения, результаты которых отражены в таблице. Определите амплитуду, период и частоту колебаний маятника.

$t, \text{c}$	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
$x, \text{см}$	6	3	0	3	6	3	0	3	6

2. Массивный шарик, прикреплённый к невесомой пружине, совершает колебания вдоль гладкой горизонтальной поверхности. Как надо изменить массу шарика, чтобы частота колебаний уменьшилась в 2 раза?

1) увеличить в 2 раза

2) уменьшить в 2 раза

3) увеличить в 4 раза

4) уменьшить в 4 раза

Решение.

1.

Дано:

Таблица зависимости смещения маятника x от времени t.

Найти:

Амплитуду A, период T и частоту ν колебаний.

Решение:

1. Амплитуда колебаний (A) — это максимальное отклонение или смещение от положения равновесия. Положение равновесия соответствует $x = 0$. Из таблицы видно, что максимальное значение смещения $x_{max}$ равно 6 см.
$A = x_{max} = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$.

2. Период колебаний (T) — это наименьший промежуток времени, через который система возвращается в то же состояние (те же координата и скорость). В начальный момент времени $t = 0 \text{ с}$, смещение маятника было максимальным ($x = 6 \text{ см}$). Следующий раз маятник достигает этого же максимального смещения в момент времени $t = 0,4 \text{ с}$.
Следовательно, период колебаний равен:
$T = 0,4 \text{ с} - 0 \text{ с} = 0,4 \text{ с}$.

3. Частота колебаний (ν) — это число полных колебаний в единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду.
$ν = \frac{1}{T}$
Подставим значение периода:
$ν = \frac{1}{0,4 \text{ с}} = 2,5 \text{ Гц}$.

Ответ: Амплитуда $A = 6$ см (или $0,06$ м), период $T = 0,4$ с, частота $ν = 2,5$ Гц.

2.

Решение:

Колебания шарика на пружине представляют собой гармонические колебания пружинного маятника. Частота колебаний (ν) пружинного маятника определяется формулой:
$ν = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$
где k — жесткость пружины, а m — масса шарика.

Из формулы видно, что частота колебаний ν обратно пропорциональна квадратному корню из массы m:
$ν \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$

Пусть начальная частота и масса были ν₁ и m₁, а конечные — ν₂ и m₂. По условию задачи, частота должна уменьшиться в 2 раза, то есть $ν_2 = \frac{ν_1}{2}$.

Составим отношение частот:
$\frac{ν_2}{ν_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}} = \sqrt{\frac{k}{m_2} \cdot \frac{m_1}{k}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

Подставим известное соотношение частот $\frac{ν_2}{ν_1} = \frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$

Чтобы найти отношение масс, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\frac{1}{2})^2 = (\sqrt{\frac{m_1}{m_2}})^2$
$\frac{1}{4} = \frac{m_1}{m_2}$

Отсюда выразим новую массу m₂:
$m_2 = 4m_1$

Таким образом, чтобы частота колебаний уменьшилась в 2 раза, массу шарика необходимо увеличить в 4 раза.

Ответ: 3) увеличить в 4 раза.