Вариант 1, страница 15 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Колебания и волны. Самостоятельная работа № 1. Механические колебания - страница 15.

Условие.

Самостоятельная работа № 1

Механические колебания

Вариант 1

1. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению

$x = 0.5 \sin 2\pi t$ (см). Определите амплитуду, период и частоту колебаний.

2. Как изменится частота гармонических колебаний математического маятника, если длину нити подвеса и массу груза увеличить в 4 раза?

1) увеличится в 2 раза

2) уменьшится в 2 раза

3) не изменится

4) увеличится в 4 раза

Решение.

1.

Дано:

Уравнение колебаний: $x = 0,5\sin(2\pi t)$, где смещение $x$ дано в сантиметрах (см), а время $t$ в секундах (с).

Перевод в СИ:

Амплитуда, следующая из уравнения, составляет $A = 0,5$ см. В системе СИ это значение равно $A = 0,005$ м.

Найти:

Амплитуду $A$, период $T$, частоту колебаний $\nu$.

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая (угловая) частота, $t$ – время, $\phi_0$ – начальная фаза.

Сравним данное нам уравнение $x = 0,5\sin(2\pi t)$ с общей формулой.

1. Амплитуда (A) – это максимальное смещение от положения равновесия. В уравнении она соответствует множителю перед функцией синуса. Таким образом, амплитуда колебаний $A = 0,5$ см.

2. Циклическая частота ($\omega$) – это множитель при времени $t$ в аргументе синуса. Из уравнения следует, что $\omega = 2\pi$ рад/с.

3. Период (T) – это время одного полного колебания. Он связан с циклической частотой соотношением: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставим найденное значение $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ с.

4. Частота ($\nu$) – это число колебаний в единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T}$.

Подставим найденное значение $T$:

$\nu = \frac{1}{1} = 1$ Гц.

Ответ: амплитуда $A = 0,5$ см, период $T = 1$ с, частота $\nu = 1$ Гц.

2.

Решение:

Частота гармонических колебаний математического маятника определяется по формуле:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

где $l$ – это длина нити подвеса, а $g$ – ускорение свободного падения.

Из этой формулы видно, что частота колебаний математического маятника зависит от длины его нити ($l$) и не зависит от массы груза ($m$).

Пусть начальная частота колебаний была $\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}$, где $l_1$ – начальная длина нити.

Согласно условию задачи, длину нити увеличили в 4 раза. Новая длина нити будет $l_2 = 4l_1$. Увеличение массы груза в 4 раза не повлияет на частоту колебаний.

Вычислим новую частоту $\nu_2$ с новой длиной $l_2$:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{4l_1}}$

Вынесем $\sqrt{4}$ из знаменателя:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}\sqrt{\frac{g}{l_1}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}\right) = \frac{1}{2}\nu_1$

Таким образом, новая частота $\nu_2$ в 2 раза меньше начальной частоты $\nu_1$. Следовательно, частота колебаний уменьшится в 2 раза.

Этот результат соответствует варианту ответа 2.

Ответ: 2) уменьшится в 2 раза.