Вариант 2, страница 15 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Колебания и волны. Самостоятельная работа № 1. Механические колебания - страница 15.

Условие.

Вариант 2

1. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению $x = 0,02\cos\pi t$ (м). Определите амплитуду, период и частоту колебаний.

2. На Земле период колебаний математического маятника составляет 1 с, а на некоторой другой планете — 2 с. Чему равно ускорение свободного падения на этой планете?

1) 5 $м/с^2$ 3) 2,5 $м/с^2$
2) 4 $м/с^2$ 4) 6 $м/с^2$

Решение.

1.

Решение

Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Сравним данное по условию уравнение $x = 0,02\cos(\pi t)$ с общей формулой.

Отсюда находим:

1. Амплитуда (A) — это максимальное смещение точки от положения равновесия, она равна множителю перед функцией косинуса.
$A = 0,02$ м.

2. Циклическая частота ($\omega$) — это множитель при времени $t$ под знаком косинуса.
$\omega = \pi$ рад/с.

Период колебаний ($T$) связан с циклической частотой соотношением: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
Подставим значение $\omega$:
$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ с.

3. Частота колебаний ($\nu$) — это величина, обратная периоду: $\nu = \frac{1}{T}$.
Подставим значение $T$:
$\nu = \frac{1}{2} = 0,5$ Гц.

Ответ: амплитуда $A = 0,02$ м, период $T = 2$ с, частота $\nu = 0,5$ Гц.

2.

Дано:

$T_З = 1$ с

$T_П = 2$ с

$g_З \approx 10$ м/с²

Найти:

$g_П$ - ?

Решение

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем формулы для периода колебаний маятника на Земле ($T_З$) и на другой планете ($T_П$). Длина маятника $l$ остается неизменной.

$T_З = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}$

$T_П = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_П}}$

Чтобы найти связь между ускорениями свободного падения, составим отношение периодов. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T_П}{T_З} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_П}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}} = \sqrt{\frac{l}{g_П} \cdot \frac{g_З}{l}} = \sqrt{\frac{g_З}{g_П}}$

Чтобы выразить $g_П$, возведем обе части равенства в квадрат:

$(\frac{T_П}{T_З})^2 = \frac{g_З}{g_П}$

Отсюда выражаем ускорение свободного падения на планете:

$g_П = g_З \cdot (\frac{T_З}{T_П})^2$

Подставим числовые значения. В качестве ускорения свободного падения на Земле примем стандартное для школьных задач значение $g_З \approx 10$ м/с².

$g_П = 10 \text{ м/с}^2 \cdot (\frac{1 \text{ с}}{2 \text{ с}})^2 = 10 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2,5$ м/с².

Полученное значение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) 2,5 м/с².