Вариант 4, страница 17 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 2. Электромагнитные колебания. Колебания и волны - страница 17.

Условие.

Вариант 4

1. Амплитудное значение заряда на пластинах конденсатора составляет 2 $\mu \text{Кл}$. Колебания происходят по синусоидальному закону с нулевой начальной фазой. Определите заряд на пластинах конденсатора через $0.25 T$ ($T$ — период колебаний).

2. В колебательном контуре максимальное значение силы тока составляет 0,2 А. Максимальное значение напряжения на обкладках конденсатора 100 В. Чему равно максимальное значение заряда на пластинах конденсатора, если индуктивность катушки составляет $10^{-4}$

2. В колебательном контуре максимальное значение силы тока составляет 0,2 А. Максимальное значение напряжения на обкладках конденсатора 100 В. Чему равно максимальное значение заряда на пластинах конденсатора, если индуктивность катушки составляет $10^{-4}$ Гн?

Решение.

1.

Дано:

Амплитудное значение заряда $q_{max} = 2 \text{ мкКл}$
Колебания происходят по синусоидальному закону
Начальная фаза $\phi_0 = 0$
Момент времени $t = 0.25 T$

Перевод в систему СИ:
$q_{max} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

Заряд на пластинах конденсатора в момент времени t, $q(t) - ?$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний заряда на пластинах конденсатора, происходящих по синусоидальному закону с нулевой начальной фазой, имеет вид:
$q(t) = q_{max} \sin(\omega t + \phi_0) = q_{max} \sin(\omega t)$
где $q_{max}$ — амплитудное (максимальное) значение заряда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в уравнение для заряда:
$q(t) = q_{max} \sin(\frac{2\pi}{T} t)$

Теперь необходимо найти значение заряда в момент времени $t = 0.25 T$. Подставим это значение в уравнение:
$q(0.25T) = q_{max} \sin(\frac{2\pi}{T} \cdot 0.25 T) = q_{max} \sin(\frac{2\pi}{4}) = q_{max} \sin(\frac{\pi}{2})$

Значение синуса угла $\frac{\pi}{2}$ равно 1. Следовательно:
$q(0.25T) = q_{max} \cdot 1 = q_{max}$

Таким образом, в момент времени, равный четверти периода, заряд на пластинах конденсатора достигает своего максимального (амплитудного) значения.
$q = 2 \text{ мкКл} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Ответ:

заряд на пластинах конденсатора через 0,25 T составит 2 мкКл.

2.

Дано:

Максимальное значение силы тока $I_{max} = 0.2 \text{ А}$
Максимальное значение напряжения $U_{max} = 100 \text{ В}$
Индуктивность катушки $L = 10^{-4} \text{ Гн}$

Найти:

Максимальное значение заряда $q_{max} - ?$

Решение:

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная электромагнитная энергия сохраняется. Это означает, что максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля катушки индуктивности.
$W_{C,max} = W_{L,max}$

Максимальная энергия электрического поля конденсатора определяется по формуле:
$W_{C,max} = \frac{C U_{max}^2}{2}$
где $C$ — электроемкость конденсатора, а $U_{max}$ — максимальное напряжение на нем.

Максимальная энергия магнитного поля катушки определяется по формуле:
$W_{L,max} = \frac{L I_{max}^2}{2}$
где $L$ — индуктивность катушки, а $I_{max}$ — максимальная сила тока в ней.

Приравнивая эти два выражения, получаем закон сохранения энергии для контура:
$\frac{C U_{max}^2}{2} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Максимальный заряд на обкладках конденсатора $q_{max}$ связан с емкостью $C$ и максимальным напряжением $U_{max}$ соотношением:
$q_{max} = C \cdot U_{max}$

Из этого соотношения выразим емкость конденсатора: $C = \frac{q_{max}}{U_{max}}$.
Подставим полученное выражение для $C$ в уравнение сохранения энергии:
$\frac{(\frac{q_{max}}{U_{max}}) U_{max}^2}{2} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Упростим левую часть уравнения:
$\frac{q_{max} U_{max}}{2} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Сократив на 2, получим:
$q_{max} U_{max} = L I_{max}^2$

Теперь выразим искомое максимальное значение заряда $q_{max}$:
$q_{max} = \frac{L I_{max}^2}{U_{max}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:
$q_{max} = \frac{10^{-4} \text{ Гн} \cdot (0.2 \text{ А})^2}{100 \text{ В}} = \frac{10^{-4} \cdot 0.04}{100} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{100} = 4 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}$

Это значение можно также выразить в нанокулонах: $4 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} = 40 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 40 \text{ нКл}$.

Ответ:

максимальное значение заряда на пластинах конденсатора равно $4 \cdot 10^{-8}$ Кл (или 40 нКл).