Вариант 5, страница 17 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 2. Электромагнитные колебания. Колебания и волны - страница 17.

Условие.

Вариант 5*

1. Колебания напряжения на пластинах конденсатора колебательного контура подчиняются закону $u = 100 \cos(80 \pi t)$. Ёмкость конденсатора $20 \mu F$. Определите заряд на пластинах конденсатора через $0.25 T$ ($T$ — период колебаний).

2. Отношение максимального значения заряда на пластинах конденсатора колебательного контура к максимальному значению силы тока в катушке индуктивности равно 2. Чему равна циклическая частота собственных колебаний этого контура?

Решение.

1.

Дано:

$u(t) = 100 \cos(80\pi t)$, В
$C = 20$ мкФ
$t = 0,25 T$

$C = 20 \cdot 10^{-6}$ Ф

Найти:

$q(0,25 T)$ - ?

Решение:

Закон изменения напряжения на конденсаторе в общем виде записывается как $u = U_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$. Сравнивая это выражение с заданным уравнением $u = 100 \cos(80\pi t)$, мы можем определить амплитуду напряжения $U_{max} = 100$ В и циклическую частоту колебаний $\omega = 80\pi$ рад/с.

Заряд на пластинах конденсатора $q$ связан с напряжением $u$ и ёмкостью $C$ соотношением $q = C \cdot u$.

Следовательно, зависимость заряда от времени описывается уравнением:

$q(t) = C \cdot u(t) = C \cdot U_{max} \cos(\omega t)$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Нам необходимо найти заряд в момент времени $t = 0,25 T = \frac{T}{4}$. Подставим это значение времени в уравнение для заряда:

$q(\frac{T}{4}) = C \cdot U_{max} \cos(\omega \cdot \frac{T}{4})$

Теперь подставим выражение для периода $T$ через частоту $\omega$:

$q(\frac{T}{4}) = C \cdot U_{max} \cos(\omega \cdot \frac{2\pi}{4\omega}) = C \cdot U_{max} \cos(\frac{\pi}{2})$

Значение косинуса угла $\frac{\pi}{2}$ равно нулю, поэтому:

$q(\frac{T}{4}) = C \cdot U_{max} \cdot 0 = 0$

Физически это означает, что через четверть периода после момента, когда заряд на конденсаторе был максимальным (при $t=0$), конденсатор полностью разряжается, и вся энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля катушки.

Ответ: заряд на пластинах конденсатора будет равен 0 Кл.

2.

Дано:

$\frac{q_{max}}{I_{max}} = 2$ с

Найти:

$\omega$ - ?

Решение:

В колебательном контуре заряд на конденсаторе изменяется по гармоническому закону. Пусть этот закон имеет вид $q(t) = q_{max} \cos(\omega t)$, где $q_{max}$ — максимальное значение заряда (амплитуда), а $\omega$ — циклическая частота собственных колебаний.

Сила тока в контуре $I(t)$ является первой производной от заряда по времени: $I(t) = q'(t)$.

Возьмем производную от функции заряда:

$I(t) = \frac{d}{dt}(q_{max} \cos(\omega t)) = -q_{max} \omega \sin(\omega t)$

Из этого уравнения видно, что максимальное значение (амплитуда) силы тока $I_{max}$ равно:

$I_{max} = q_{max} \cdot \omega$

По условию задачи нам дано отношение максимального значения заряда к максимальному значению силы тока:

$\frac{q_{max}}{I_{max}} = 2$

Подставим в это соотношение найденное выражение для $I_{max}$:

$\frac{q_{max}}{q_{max} \cdot \omega} = 2$

Сокращая $q_{max}$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{1}{\omega} = 2$

Из этого уравнения выражаем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{1}{2} = 0,5$ рад/с

Ответ: циклическая частота собственных колебаний этого контура равна 0,5 рад/с.