Вариант 2, страница 19 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Колебания и волны. Самостоятельная работа № 4. Электромагнитные волны - страница 19.

Условие.

Вариант 2

1. Радиостанция работает на частоте 100 МГц. На какую длину волны надо настроить радиоприемник?

2. Приёмный контур электромагнитных волн настроен на длину волны 20 м. Как надо изменить индуктивность контура, чтобы принять сигнал с длиной волны 40 м?

Решение.

1. Радиостанция работает на частоте 100 МГц. На какую длину волны надо настроить радиоприемник?

Дано:

Частота, $\nu = 100$ МГц

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в СИ:

$\nu = 100 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 10^8 \text{ Гц}$

Найти:

Длину волны, $\lambda$

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$ связана с её частотой $\nu$ и скоростью распространения $c$ (скоростью света) через формулу:

$\lambda = \frac{c}{\nu}$

Подставим данные значения в формулу для расчета длины волны:

$\lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{10^8 \text{ Гц}} = 3 \text{ м}$

Ответ: радиоприемник надо настроить на длину волны 3 м.

2. Приёмный контур электромагнитных волн настроен на длину волны 20 м. Как надо изменить индуктивность контура, чтобы принять сигнал с длиной волны 40 м?

Дано:

Начальная длина волны, $\lambda_1 = 20$ м

Конечная длина волны, $\lambda_2 = 40$ м

Найти:

Во сколько раз нужно изменить индуктивность, то есть найти отношение $\frac{L_2}{L_1}$.

Решение:

Собственная частота колебаний в приёмном контуре определяется формулой Томсона для периода колебаний $T$: $T = 2\pi\sqrt{LC}$. Длина волны $\lambda$ связана с периодом $T$ соотношением $\lambda = cT$, где $c$ - скорость света. Объединив эти формулы, получим зависимость длины волны от параметров контура:

$\lambda = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}$

Для начального состояния контура, настроенного на волну $\lambda_1$, можно записать:

$\lambda_1 = 2\pi c \sqrt{L_1 C}$

Для конечного состояния, когда контур настроен на волну $\lambda_2$ за счёт изменения индуктивности до $L_2$ (ёмкость $C$ остаётся неизменной), формула будет выглядеть так:

$\lambda_2 = 2\pi c \sqrt{L_2 C}$

Чтобы найти, как изменилась индуктивность, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2\pi c \sqrt{L_2 C}}{2\pi c \sqrt{L_1 C}} = \sqrt{\frac{L_2 C}{L_1 C}} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$

Чтобы выразить отношение индуктивностей, возведём обе части полученного уравнения в квадрат:

$\frac{L_2}{L_1} = (\frac{\lambda_2}{\lambda_1})^2$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{L_2}{L_1} = (\frac{40 \text{ м}}{20 \text{ м}})^2 = 2^2 = 4$

Из этого следует, что $L_2 = 4L_1$.

Ответ: чтобы принять сигнал с длиной волны 40 м, индуктивность контура надо увеличить в 4 раза.