Вариант 4, страница 19 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Колебания и волны. Самостоятельная работа № 4. Электромагнитные волны - страница 19.

Условие.

Вариант 4

1. Основная частота вещания радиостанции 60 МГц. На какую длину волны надо настроить радиоприёмник?

2. Радиостанция ведёт передачу на длине волны 300 м. Определите значение электроёмкости конденсатора приёмного контура радиоприёмника, если индуктивность катушки составляет $10^{-6}$ Гн.

Решение.

1. Основная частота вещания радиостанции 60 МГц. На какую длину волны надо настроить радиоприёмник?

Дано:

Частота $ν = 60$ МГц
Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:
$ν = 60 \cdot 10^6$ Гц

Найти:

Длину волны $λ$

Решение:

Длина электромагнитной волны $λ$ связана с её частотой $ν$ и скоростью распространения $c$ (в данном случае, скоростью света) следующей формулой:

$λ = \frac{c}{ν}$

Подставим известные значения в формулу:

$λ = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{60 \cdot 10^6 \text{ Гц}} = \frac{3}{60} \cdot 10^{8-6} \text{ м} = 0,05 \cdot 10^2 \text{ м} = 5 \text{ м}$

Ответ: радиоприёмник надо настроить на длину волны 5 м.

2. Радиостанция ведёт передачу на длине волны 300 м. Определите значение электроёмкости конденсатора приёмного контура радиоприёмника, если индуктивность катушки составляет 10^-6 Гн.

Дано:

Длина волны $λ = 300$ м
Индуктивность $L = 10^{-6}$ Гн
Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Электроёмкость $C$

Решение:

Приёмный контур радиоприёмника настраивается в резонанс с частотой принимаемой радиоволны. Период собственных колебаний контура $T$ должен быть равен периоду электромагнитной волны. Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2π\sqrt{LC}$

Период волны связан с её длиной $λ$ и скоростью распространения $c$ соотношением:

$T = \frac{λ}{c}$

Приравняем правые части этих двух выражений:

$2π\sqrt{LC} = \frac{λ}{c}$

Чтобы выразить ёмкость $C$, возведём обе части уравнения в квадрат:

$(2π\sqrt{LC})^2 = (\frac{λ}{c})^2$

$4π^2LC = \frac{λ^2}{c^2}$

Теперь выразим ёмкость $C$:

$C = \frac{λ^2}{4π^2c^2L}$

Подставим числовые значения в формулу:

$C = \frac{(300 \text{ м})^2}{4 \cdot π^2 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}} = \frac{9 \cdot 10^4}{4 \cdot π^2 \cdot 9 \cdot 10^{16} \cdot 10^{-6}} = \frac{10^4}{4 \cdot π^2 \cdot 10^{10}} \text{ Ф}$

Используем приближенное значение $π^2 \approx 9,87$:

$C \approx \frac{10^4}{4 \cdot 9,87 \cdot 10^{10}} = \frac{1}{39,48} \cdot 10^{-6} \approx 0,0253 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Этот результат можно представить в более удобных единицах. Например, в пикофарадах ($1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$):

$C \approx 0,0253 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 25300 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 25300 \text{ пФ}$

Ответ: значение электроёмкости конденсатора составляет примерно $2,53 \cdot 10^{-8}$ Ф или 25300 пФ.