Вариант 3, страница 21 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Колебания и волны. Контрольная работа. Колебания и волны - страница 21.

Условие.

Вариант 3

1. Маятник совершает колебания по закону $x = 5 \cdot 10^{-2} \sin\left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{3}\right)$. Каким будет смещение маятника от положения равновесия в момент времени $t = \frac{T}{4}$?

2. Частота колебаний звуковых волн изменяется от 200 Гц до некоторого значения. Длины волн этих частот различаются в 2,5 раза. Определите значение частоты для второй границы диапазона.

3. Период собственных колебаний в колебательном контуре равен 0,25 мкс. Чему равна электроёмкость конденсатора контура, если индуктивность катушки составляет 2 мкГн?

4. В первичной обмотке трансформатора содержится 900 витков, сила тока в ней 2 А. Сколько витков содержится во вторичной обмотке, если в ней сила тока 6 А?

5. Сила тока в цепи переменного тока изменяется по закону $i = 5\sin\pi t$. Определите действующее значение силы тока в цепи.

Решение.

1.

Дано:

Закон колебаний: $x = 5 \cdot 10^{-2} \sin(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{3})$

Момент времени: $t = \frac{T}{4}$

Найти:

$x$ - ?

Решение:

Уравнение гармонических колебаний в общем виде: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$, где $A$ - амплитуда, $\omega$ - циклическая частота, $\phi_0$ - начальная фаза.

Из заданного уравнения $x = 5 \cdot 10^{-2} \sin(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{3})$ находим циклическую частоту: $\omega = \frac{\pi}{3}$ рад/с.

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставим значение $\omega$: $T = \frac{2\pi}{\pi/3} = 2\pi \cdot \frac{3}{\pi} = 6$ с.

Найдем момент времени, в который нужно определить смещение: $t = \frac{T}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$ с.

Подставим это значение времени в уравнение колебаний:

$x(1,5) = 5 \cdot 10^{-2} \sin(\frac{\pi}{3} \cdot 1,5 - \frac{\pi}{3}) = 5 \cdot 10^{-2} \sin(\frac{1,5\pi - \pi}{3}) = 5 \cdot 10^{-2} \sin(\frac{0,5\pi}{3}) = 5 \cdot 10^{-2} \sin(\frac{\pi}{6})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5$, получаем:

$x = 5 \cdot 10^{-2} \cdot 0,5 = 2,5 \cdot 10^{-2}$ м.

Ответ: смещение маятника будет равно $2,5 \cdot 10^{-2}$ м.

2.

Дано:

Первая граничная частота: $\nu_1 = 200$ Гц

Отношение длин волн: $\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}} = 2,5$

Найти:

Вторая граничная частота: $\nu_2$ - ?

Решение:

Связь между длиной волны $\lambda$, частотой $\nu$ и скоростью распространения волны $v$ выражается формулой: $v = \lambda \cdot \nu$. Скорость звука в среде постоянна, поэтому длина волны обратно пропорциональна частоте: $\lambda = \frac{v}{\nu}$. Это означает, что большей частоте соответствует меньшая длина волны, и наоборот.

В задаче не указано, является ли вторая частота большей или меньшей, чем 200 Гц. Поэтому рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Вторая граничная частота $\nu_2$ больше первой ($\nu_2 > \nu_1$).

В этом случае длина волны $\lambda_2$ будет меньше длины волны $\lambda_1$ ($\lambda_2 < \lambda_1$). Тогда их отношение равно 2,5: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 2,5$.

Используя связь $\lambda = v/\nu$, получаем: $\frac{v/\nu_1}{v/\nu_2} = \frac{\nu_2}{\nu_1} = 2,5$.

Отсюда находим $\nu_2$: $\nu_2 = 2,5 \cdot \nu_1 = 2,5 \cdot 200 \text{ Гц} = 500$ Гц.

Случай 2: Вторая граничная частота $\nu_2$ меньше первой ($\nu_2 < \nu_1$).

В этом случае длина волны $\lambda_2$ будет больше длины волны $\lambda_1$ ($\lambda_2 > \lambda_1$). Тогда их отношение равно 2,5: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2,5$.

Аналогично, получаем: $\frac{v/\nu_2}{v/\nu_1} = \frac{\nu_1}{\nu_2} = 2,5$.

Отсюда находим $\nu_2$: $\nu_2 = \frac{\nu_1}{2,5} = \frac{200 \text{ Гц}}{2,5} = 80$ Гц.

Ответ: значение частоты для второй границы диапазона может быть 80 Гц или 500 Гц.

3.

Дано:

$T = 0,25$ мкс

$L = 2$ мкГн

Перевод в СИ:

$T = 0,25 \cdot 10^{-6}$ с

$L = 2 \cdot 10^{-6}$ Гн

Найти:

$C$ - ?

Решение:

Период собственных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$.

Выразим из этой формулы электроёмкость конденсатора $C$. Для этого возведём обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = 4\pi^2LC$

Отсюда $C = \frac{T^2}{4\pi^2L}$.

Подставим числовые значения в СИ:

$C = \frac{(0,25 \cdot 10^{-6})^2}{4\pi^2 \cdot 2 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,0625 \cdot 10^{-12}}{8\pi^2 \cdot 10^{-6}} = \frac{0,0625}{8\pi^2} \cdot 10^{-6}$ Ф.

Приближенно считая $\pi^2 \approx 9,87$, получим:

$C \approx \frac{0,0625}{8 \cdot 9,87} \cdot 10^{-6} \approx \frac{0,0625}{78,96} \cdot 10^{-6} \approx 7,9 \cdot 10^{-10}$ Ф.

Ответ: электроёмкость конденсатора равна примерно $7,9 \cdot 10^{-10}$ Ф (или 0,79 нФ).

4.

Дано:

$N_1 = 900$

$I_1 = 2$ А

$I_2 = 6$ А

Найти:

$N_2$ - ?

Решение:

Для идеального трансформатора (без потерь энергии) отношение сил токов в первичной ($I_1$) и вторичной ($I_2$) обмотках обратно пропорционально отношению числа витков в этих обмотках ($N_1$ и $N_2$):

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1}$

Из этой формулы выразим число витков во вторичной обмотке $N_2$:

$N_2 = N_1 \cdot \frac{I_1}{I_2}$

Подставим известные значения:

$N_2 = 900 \cdot \frac{2 \text{ А}}{6 \text{ А}} = 900 \cdot \frac{1}{3} = 300$.

Ответ: во вторичной обмотке содержится 300 витков.

5.

Дано:

$i(t) = 5\sin(\pi t)$

Найти:

$I_{действ}$ - ?

Решение:

Закон изменения силы переменного тока в общем виде: $i(t) = I_{max}\sin(\omega t + \phi_0)$, где $I_{max}$ - амплитудное значение силы тока.

Сравнивая общее уравнение с данным в задаче $i = 5\sin(\pi t)$, находим амплитудное значение тока: $I_{max} = 5$ А.

Действующее (эффективное) значение силы синусоидального переменного тока $I_{действ}$ связано с амплитудным значением $I_{max}$ соотношением:

$I_{действ} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$

Подставим значение амплитуды:

$I_{действ} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ А.

Вычислим приближенное числовое значение, используя $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$I_{действ} \approx \frac{5}{1,414} \approx 3,54$ А.

Ответ: действующее значение силы тока в цепи равно $\frac{5}{\sqrt{2}} \text{ А} \approx 3,54$ А.