Вариант 5, страница 24 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Оптика. Самостоятельная работа № 1. Законы геометрической оптики - страница 24.

Условие.

Вариант 5*

1. Небольшой предмет движется со скоростью $0,5 \text{ м/с}$ перпендикулярно плоскому зеркалу. С какой скоростью относительно этого предмета будет двигаться изображение?

2. При переходе светового луча из первой среды во вторую угол преломления составил $45^\circ$, а при переходе луча из первой среды в третью при том же угле падения угол преломления составил $30^\circ$. Определите предельный угол полного внутреннего отражения для луча, переходящего из третьей среды во вторую.

Решение.

1.

Дано:

Скорость предмета относительно зеркала, $v_п = 0,5$ м/с.

Найти:

Скорость изображения относительно предмета, $v_{отн}$ - ?

Решение:

Пусть плоское зеркало находится в начале координат ($x=0$), а предмет движется вдоль оси X, перпендикулярной зеркалу. Положение предмета в любой момент времени можно описать координатой $x_п$. Изображение в плоском зеркале всегда находится на том же расстоянии от зеркала, что и предмет, но с другой стороны. Следовательно, координата изображения $x_и = -x_п$.

Скорость — это производная от координаты по времени. Скорость предмета относительно неподвижной системы координат, связанной с зеркалом, равна $v_п = \frac{dx_п}{dt}$.

Скорость изображения относительно той же системы координат равна $v_и = \frac{dx_и}{dt} = \frac{d(-x_п)}{dt} = - \frac{dx_п}{dt} = -v_п$.

Знак минус указывает, что вектор скорости изображения направлен в противоположную сторону вектору скорости предмета. Если предмет приближается к зеркалу со скоростью $v_п$, то изображение также приближается к зеркалу с той же скоростью по модулю, но с другой стороны.

Скорость изображения относительно предмета $v_{отн}$ находится по классическому закону сложения скоростей:

$v_{отн} = v_и - v_п$

Подставим выражение для скорости изображения:

$v_{отн} = -v_п - v_п = -2v_п$

Модуль относительной скорости (скорость, с которой изображение движется относительно предмета) равен:

$|v_{отн}| = |-2v_п| = 2|v_п|$

Подставим числовое значение:

$|v_{отн}| = 2 \cdot 0,5 \text{ м/с} = 1,0 \text{ м/с}$

Ответ: 1,0 м/с.

2.

Дано:

Переход луча из среды 1 в среду 2: угол преломления $\beta_{12} = 45^\circ$.

Переход луча из среды 1 в среду 3: угол преломления $\beta_{13} = 30^\circ$.

Угол падения $\alpha$ при переходе из среды 1 в обоих случаях одинаков.

Найти:

Предельный угол полного внутреннего отражения для луча, переходящего из третьей среды во вторую, $\alpha_{пред}$ - ?

Решение:

Запишем закон преломления света (закон Снеллиуса) для двух описанных случаев. Пусть $n_1, n_2, n_3$ - показатели преломления первой, второй и третьей сред соответственно.

1. При переходе луча из первой среды во вторую:

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta_{12}$

Подставим известное значение $\beta_{12} = 45^\circ$:

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin 45^\circ$ (1)

2. При переходе луча из первой среды в третью при том же угле падения $\alpha$:

$n_1 \sin\alpha = n_3 \sin\beta_{13}$

Подставим известное значение $\beta_{13} = 30^\circ$:

$n_1 \sin\alpha = n_3 \sin 30^\circ$ (2)

Поскольку левые части уравнений (1) и (2) равны, мы можем приравнять их правые части:

$n_2 \sin 45^\circ = n_3 \sin 30^\circ$

Из этого соотношения найдем отношение показателей преломления второй и третьей сред, которое нам понадобится для определения предельного угла:

$\frac{n_2}{n_3} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}$

Предельный угол полного внутреннего отражения $\alpha_{пред}$ при переходе из среды 3 в среду 2 определяется условием, что угол преломления равен 90°. Согласно закону Снеллиуса, для этого случая:

$n_3 \sin\alpha_{пред} = n_2 \sin 90^\circ$

$\sin\alpha_{пред} = \frac{n_2}{n_3}$

Полное внутреннее отражение возможно только при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную, то есть при $n_3 > n_2$. Проверим это условие: $\frac{n_2}{n_3} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0,707 < 1$, следовательно, $n_3 > n_2$, и полное внутреннее отражение возможно.

Подставим найденное отношение в формулу для синуса предельного угла:

$\sin\alpha_{пред} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем сам угол:

$\alpha_{пред} = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: 45°.