Вариант 4, страница 21 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Контрольная работа. Колебания и волны. Колебания и волны - страница 21.

Условие.

Вариант 4

1. Механические колебания в системе происходят по закону $x = 6 \cdot 10^{-3} \cos\left(2\pi t - \frac{2\pi}{3}\right)$. Каким будет смещение от положения равновесия в момент времени $t = \frac{T}{2}$?

2. Мимо наблюдателя, сидящего на берегу, прошло 10 гребней волны за 20 с. Определите период колебаний в этой волне.

3. Ёмкость конденсатора колебательного контура равна 10 мкФ. Каким должен быть диапазон изменения индуктивности катушки для настройки от 400 Гц до 500 Гц?

4. Понижающий трансформатор изменяет напряжение от 127 В до 12,7 В, при этом сила тока изменяется от 1 А до 8 А соответственно. Вычислите КПД этого трансформатора.

5. В цепи переменного тока изменение напряжения происходит по закону $u = 120\cos 2\pi t$. Чему равно действующее значение напряжения?

Решение.

1.

Дано:

Закон колебаний: $x = 6 \cdot 10^{-3} \cos(2\pi t - \frac{2\pi}{3})$

Момент времени: $t = \frac{T}{2}$

Найти:

Смещение $x$ в момент времени $t$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний в общем виде: $x = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Из заданного уравнения $x = 6 \cdot 10^{-3} \cos(2\pi t - \frac{2\pi}{3})$ видно, что циклическая частота $\omega = 2\pi$ рад/с.

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Найдем период:

$T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ с.

Теперь определим момент времени, в который нужно найти смещение:

$t = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ с.

Подставим это значение времени в уравнение колебаний:

$x = 6 \cdot 10^{-3} \cos(2\pi \cdot 0.5 - \frac{2\pi}{3}) = 6 \cdot 10^{-3} \cos(\pi - \frac{2\pi}{3})$.

Используем тригонометрическую формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$x = 6 \cdot 10^{-3} \cdot (-\cos(\frac{2\pi}{3}))$.

Так как $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -0.5$, получаем:

$x = 6 \cdot 10^{-3} \cdot (-(-0.5)) = 6 \cdot 10^{-3} \cdot 0.5 = 3 \cdot 10^{-3}$ м.

Ответ: смещение будет равно $3 \cdot 10^{-3}$ м.

2.

Дано:

Число гребней волны, $N = 10$.

Время, $t = 20$ с.

Найти:

Период колебаний $T$.

Решение:

Частота колебаний $\nu$ — это количество полных колебаний (в данном случае, прошедших гребней) за единицу времени.

$\nu = \frac{N}{t}$

Подставим данные значения:

$\nu = \frac{10}{20 \text{ с}} = 0.5$ Гц.

Период колебаний $T$ — это время одного полного колебания, он обратно пропорционален частоте:

$T = \frac{1}{\nu}$

$T = \frac{1}{0.5 \text{ Гц}} = 2$ с.

Ответ: период колебаний в волне равен 2 с.

3.

Дано:

$C = 10$ мкФ

$\nu_{min} = 400$ Гц

$\nu_{max} = 500$ Гц

Перевод в СИ:

$C = 10 \cdot 10^{-6}$ Ф $= 10^{-5}$ Ф

Найти:

Диапазон изменения индуктивности $L$.

Решение:

Собственная частота колебательного контура определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Выразим из этой формулы индуктивность $L$:

$(2\pi\nu)^2 = \frac{1}{LC}$

$L = \frac{1}{4\pi^2\nu^2C}$

Из формулы видно, что индуктивность обратно пропорциональна квадрату частоты. Следовательно, для настройки на минимальную частоту ($\nu_{min} = 400$ Гц) потребуется максимальная индуктивность $L_{max}$, а для настройки на максимальную частоту ($\nu_{max} = 500$ Гц) — минимальная индуктивность $L_{min}$.

Рассчитаем максимальную индуктивность:

$L_{max} = \frac{1}{4\pi^2\nu_{min}^2C} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (400 \text{ Гц})^2 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}} \approx \frac{1}{4 \cdot 9.87 \cdot 160000 \cdot 10^{-5}} \approx \frac{1}{63.17} \approx 0.0158$ Гн, или 15,8 мГн.

Рассчитаем минимальную индуктивность:

$L_{min} = \frac{1}{4\pi^2\nu_{max}^2C} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot (500 \text{ Гц})^2 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}} \approx \frac{1}{4 \cdot 9.87 \cdot 250000 \cdot 10^{-5}} \approx \frac{1}{98.7} \approx 0.0101$ Гн, или 10,1 мГн.

Ответ: диапазон изменения индуктивности катушки должен быть от 10,1 мГн до 15,8 мГн.

4.

Дано:

Напряжение на первичной обмотке, $U_1 = 127$ В.

Напряжение на вторичной обмотке, $U_2 = 12,7$ В.

Сила тока в первичной обмотке, $I_1 = 1$ А.

Сила тока во вторичной обмотке, $I_2 = 8$ А.

Найти:

КПД трансформатора, $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) трансформатора определяется как отношение выходной (полезной) мощности $P_2$ к входной (затраченной) мощности $P_1$, выраженное в процентах:

$\eta = \frac{P_2}{P_1} \cdot 100\%$

Входная мощность (мощность в первичной цепи):

$P_1 = U_1 \cdot I_1 = 127 \text{ В} \cdot 1 \text{ А} = 127$ Вт.

Выходная мощность (мощность во вторичной цепи):

$P_2 = U_2 \cdot I_2 = 12,7 \text{ В} \cdot 8 \text{ А} = 101.6$ Вт.

Теперь вычислим КПД:

$\eta = \frac{101.6 \text{ Вт}}{127 \text{ Вт}} \cdot 100\% = 0.8 \cdot 100\% = 80\%$.

Ответ: КПД этого трансформатора равен 80%.

5.

Дано:

Закон изменения напряжения: $u = 120\cos(2\pi t)$.

Найти:

Действующее значение напряжения, $U_{дейст}$.

Решение:

Уравнение изменения напряжения в цепи переменного тока имеет вид $u = U_{max}\cos(\omega t + \phi_0)$, где $U_{max}$ — амплитудное (максимальное) значение напряжения.

Сравнивая с заданным уравнением $u = 120\cos(2\pi t)$, находим амплитудное значение напряжения:

$U_{max} = 120$ В.

Действующее (эффективное) значение синусоидального напряжения связано с амплитудным значением следующей формулой:

$U_{дейст} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}}$

Подставим значение амплитуды:

$U_{дейст} = \frac{120}{\sqrt{2}} = \frac{120\sqrt{2}}{2} = 60\sqrt{2}$ В.

Вычислим приближенное значение: $60\sqrt{2} \approx 60 \cdot 1.414 \approx 84.84$ В.

Ответ: действующее значение напряжения равно $60\sqrt{2}$ В (приблизительно 84,8 В).