Вариант 3, страница 15 - гдз по физике 11 класс самостоятельные и контрольные работы Ерюткин, Ерюткина

Самостоятельная работа № 1. Механические колебания. Колебания и волны - страница 15.

Условие.

Вариант 3

1. Математический маятник совершает колебания. Ученик выполнил измерения, результаты которых отражены в таблице. Определите амплитуду, период и частоту колебаний маятника.

t, c: 0,0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1, 1,2, 1,4, 1,6
x, мм: 0, 5, 9, 12, 14, 15, 14, 12, 9

2. Массивный шарик, прикреплённый к невесомой пружине, совершает колебания вдоль гладкой горизонтальной поверхности. Как надо изменить жёсткость пружины, чтобы период колебаний изменился в 2 раза?

1) увеличить в 2 раза

2) уменьшить в 2 раза

3) изменить в 4 раза

4) изменить в 2 раза

Решение.

1.

Дано:

Таблица зависимости смещения маятника $x$ от времени $t$.

Максимальное смещение (из таблицы): $x_{max} = 15 \text{ мм}$

Время достижения $x_{max}$ из положения равновесия ($x=0$): $t_{1/4} = 1,0 \text{ с}$

Перевод в СИ:

$x_{max} = 15 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,015 \text{ м}$

Найти:

Амплитуду $A$, период $T$, частоту $\nu$.

Решение:

1. Амплитуда колебаний ($A$) — это максимальное смещение тела от положения равновесия. Из данных таблицы находим максимальное значение смещения $x$.

$A = x_{max} = 15 \text{ мм} = 0,015 \text{ м}$.

2. Период колебаний ($T$) — это время одного полного колебания. В начальный момент времени ($t=0$) маятник находится в положении равновесия ($x=0$). В момент времени $t=1,0 \text{ с}$ маятник достигает своего максимального смещения ($x=15 \text{ мм}$). Это время соответствует четверти полного колебания ($T/4$).

$\frac{T}{4} = 1,0 \text{ с}$

Отсюда находим период:

$T = 4 \cdot 1,0 \text{ с} = 4,0 \text{ с}$.

3. Частота колебаний ($\nu$) — это число полных колебаний в единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставляем значение периода:

$\nu = \frac{1}{4,0 \text{ с}} = 0,25 \text{ Гц}$.

Ответ: Амплитуда $A = 15 \text{ мм}$ (или $0,015 \text{ м}$), период $T = 4,0 \text{ с}$, частота $\nu = 0,25 \text{ Гц}$.

2.

Решение:

Период колебаний пружинного маятника ($T$) определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ — масса шарика, а $k$ — жёсткость пружины.

Из этой формулы видно, что период колебаний $T$ обратно пропорционален квадратному корню из жёсткости пружины $k$:

$T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$

Пусть начальный период равен $T_1$, а начальная жёсткость — $k_1$. Новый период $T_2$, а новая жёсткость — $k_2$. По условию, период должен измениться в 2 раза, то есть $T_2 = 2T_1$ или $T_2 = \frac{1}{2}T_1$.

Рассмотрим отношение периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{m/k_2}}{2\pi\sqrt{m/k_1}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$

Возведём обе части в квадрат, чтобы выразить отношение жёсткостей:

$(\frac{T_2}{T_1})^2 = \frac{k_1}{k_2} \implies \frac{k_2}{k_1} = (\frac{T_1}{T_2})^2$

Случай 1: Период увеличивается в 2 раза ($T_2 = 2T_1$).

$\frac{k_2}{k_1} = (\frac{T_1}{2T_1})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Это означает, что жёсткость нужно уменьшить в 4 раза.

Случай 2: Период уменьшается в 2 раза ($T_2 = \frac{1}{2}T_1$).

$\frac{k_2}{k_1} = (\frac{T_1}{T_1/2})^2 = (2)^2 = 4$

Это означает, что жёсткость нужно увеличить в 4 раза.

Таким образом, в обоих случаях, чтобы период колебаний изменился в 2 раза, жёсткость пружины необходимо изменить в 4 раза. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) изменить в 4 раза.