Номер 1.63, страница 13 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Закон Ома для участка цепи - номер 1.63, страница 13.

Условие.

1.63. На рисунке 1.21 представлена вольт-амперная характеристика для двух цилиндрических медных проводников при одинаковой температуре. Найдите:

а) во сколько раз различаются сопротивления проводников;

б) во сколько раз один проводник длиннее другого, если площадь поперечного сечения проводников одинаковая;

в) во сколько раз диаметр одного проводника больше диаметра другого, если длина проводников одинаковая.

Рис. 1.21

Решение.

Дано:

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) для двух цилиндрических медных проводников.

Материал проводников одинаковый (медь), следовательно, удельное сопротивление $\rho$ одинаково.

Для пункта б): площади поперечного сечения одинаковы, $S_1 = S_2$.

Для пункта в): длины проводников одинаковы, $l_1 = l_2$.

Найти:

а) $\frac{R_2}{R_1} - ?$

б) $\frac{l_2}{l_1} - ?$

в) $\frac{d_1}{d_2} - ?$

Решение:

а) во сколько раз различаются сопротивления проводников

Сопротивление проводника $\text{R}$ определяется по закону Ома для участка цепи: $R = \frac{U}{I}$, где $\text{U}$ — напряжение, а $\text{I}$ — сила тока. На представленном графике зависимости $I(U)$ сопротивление обратно пропорционально тангенсу угла наклона графика к оси напряжения $\text{U}$, так как $\frac{I}{U} = \frac{1}{R}$. Поскольку график 1 имеет больший угол наклона, чем график 2, то сопротивление первого проводника меньше сопротивления второго ($R_1 < R_2$).

Для нахождения численного отношения сопротивлений выберем на графике произвольное одинаковое значение напряжения для обоих проводников, например, $U_0$, соответствующее 4 делениям по оси абсцисс. Из графика находим соответствующие значения силы тока: для первого проводника $I_1$ соответствует 8 делениям, для второго — $I_2$ соответствует 2 делениям по оси ординат.

Сопротивления проводников равны:

$R_1 = \frac{U_0}{I_1}$

$R_2 = \frac{U_0}{I_2}$

Найдем их отношение:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{U_0/I_2}{U_0/I_1} = \frac{I_1}{I_2} = \frac{8 \text{ делений}}{2 \text{ деления}} = 4$

Ответ: Сопротивление второго проводника в 4 раза больше, чем первого ($R_2 = 4R_1$).

б) во сколько раз один проводник длиннее другого, если площадь поперечного сечения проводников одинаковая

Сопротивление проводника выражается формулой $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения. По условию, проводники сделаны из одного материала ($\rho_1 = \rho_2 = \rho$) и имеют одинаковую площадь поперечного сечения ($S_1 = S_2 = S$).

Запишем отношение сопротивлений:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho l_2 / S}{\rho l_1 / S} = \frac{l_2}{l_1}$

Используя результат из пункта а), где $\frac{R_2}{R_1} = 4$, получаем:

$\frac{l_2}{l_1} = 4$

Ответ: Второй проводник в 4 раза длиннее первого ($l_2 = 4l_1$).

в) во сколько раз диаметр одного проводника больше диаметра другого, если длина проводников одинаковая

По условию, длины проводников одинаковы ($l_1 = l_2 = l$). Площадь поперечного сечения круглого проводника связана с его диаметром $\text{d}$ соотношением $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Подставим это выражение в формулу для сопротивления: $R = \rho \frac{l}{S} = \rho \frac{l}{\pi d^2 / 4} = \frac{4\rho l}{\pi d^2}$.

Запишем отношение сопротивлений с учетом одинаковых $\rho$ и $\text{l}$:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{4\rho l / (\pi d_2^2)}{4\rho l / (\pi d_1^2)} = \frac{d_1^2}{d_2^2} = (\frac{d_1}{d_2})^2$

Используя результат из пункта а), где $\frac{R_2}{R_1} = 4$, получаем:

$(\frac{d_1}{d_2})^2 = 4$

Извлекая квадратный корень, находим отношение диаметров:

$\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{4} = 2$

Ответ: Диаметр первого проводника в 2 раза больше диаметра второго ($d_1 = 2d_2$).