Номер 1.59, страница 12 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.59, страница 12.

Условие.

1.59*. Проводник составлен из железного и угольного цилиндров одинакового сечения (рис. 1.18). Каким должно быть отношение длин железной и угольной частей, чтобы сопротивление получившегося проводника не зависело от температуры? Воспользуйтесь результатом решения задачи 1.58. Удельное сопротивление угля при $20 ^{\circ}\text{C}$ равно $4 \cdot 10^{-5} \, \text{Ом} \cdot \text{м}.$

Рис. 1.18

Решение.

Дано:

Проводник составлен из железного и угольного цилиндров.

Площадь поперечного сечения одинакова: $S_ж = S_{уг} = S$.

Удельное сопротивление угля при $T_0 = 20 ^\circ \text{C}$: $\rho_{уг0} = 4 \cdot 10^{-5}$ Ом$\cdot$м.

Для решения задачи воспользуемся справочными данными:

Удельное сопротивление железа при $T_0 = 20 ^\circ \text{C}$: $\rho_{ж0} \approx 9.8 \cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$м.

Температурный коэффициент сопротивления железа: $\alpha_ж \approx 6.5 \cdot 10^{-3}$ К$^{-1}$.

Температурный коэффициент сопротивления угля: $\alpha_{уг} \approx -0.5 \cdot 10^{-3}$ К$^{-1}$.

Найти:

Отношение длин $\frac{L_ж}{L_{уг}}$, при котором общее сопротивление проводника не зависит от температуры.

Решение:

Поскольку железный и угольный цилиндры соединены последовательно, их общее сопротивление $\text{R}$ равно сумме их сопротивлений:

$R = R_ж + R_{уг}$

Зависимость сопротивления от температуры для каждого материала можно выразить как:

$R(T) = R_0(1 + \alpha \Delta T)$

где $R_0$ — сопротивление при начальной температуре, $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta T$ — изменение температуры.

Общее сопротивление составного проводника как функция температуры будет:

$R(T) = R_{ж0}(1 + \alpha_ж \Delta T) + R_{уг0}(1 + \alpha_{уг} \Delta T)$

Раскрыв скобки, получим:

$R(T) = (R_{ж0} + R_{уг0}) + (R_{ж0}\alpha_ж + R_{уг0}\alpha_{уг})\Delta T$

Чтобы общее сопротивление $R(T)$ не зависело от температуры, необходимо, чтобы член, содержащий $\Delta T$, был равен нулю. Это условие, которое упоминается в задаче как результат из задачи 1.58.

$R_{ж0}\alpha_ж + R_{уг0}\alpha_{уг} = 0$

Сопротивление проводника выражается через его удельное сопротивление $\rho$, длину $\text{L}$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$ по формуле $R = \rho \frac{L}{S}$. Подставим это в наше условие:

$(\rho_{ж0} \frac{L_ж}{S}) \alpha_ж + (\rho_{уг0} \frac{L_{уг}}{S}) \alpha_{уг} = 0$

Так как площади сечений $\text{S}$ одинаковы, мы можем на них сократить:

$\rho_{ж0} L_ж \alpha_ж + \rho_{уг0} L_{уг} \alpha_{уг} = 0$

Выразим из этого уравнения искомое отношение длин $\frac{L_ж}{L_{уг}}$:

$\rho_{ж0} L_ж \alpha_ж = - \rho_{уг0} L_{уг} \alpha_{уг}$

$\frac{L_ж}{L_{уг}} = - \frac{\rho_{уг0} \alpha_{уг}}{\rho_{ж0} \alpha_ж}$

Теперь подставим числовые значения из условия и справочных данных:

$\frac{L_ж}{L_{уг}} = - \frac{(4 \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (-0.5 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1})}{(9.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (6.5 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1})}$

$\frac{L_ж}{L_{уг}} = \frac{4 \cdot 10^{-5} \cdot 0.5 \cdot 10^{-3}}{9.8 \cdot 10^{-8} \cdot 6.5 \cdot 10^{-3}} = \frac{2 \cdot 10^{-8}}{63.7 \cdot 10^{-11}} = \frac{2}{63.7} \cdot 10^3 \approx 0.0314 \cdot 10^3 \approx 31.4$

Отрицательный знак в формуле компенсируется отрицательным температурным коэффициентом угля, что физически означает, что при нагревании сопротивление железной части растет, а угольной — падает, и при правильном подборе длин эти изменения компенсируют друг друга.

Ответ:

Отношение длины железной части к длине угольной части должно быть $\frac{L_ж}{L_{уг}} \approx 31.4$.