Номер 1.54, страница 11 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.54, страница 11.

Условие.

1.54. Требуется изготовить нагревательный элемент, который бы при температуре 800 °С имел сопротивление 48 Ом. Какой длины никелиновую проволоку диаметром 0,5 мм нужно взять для этого?

Решение.

Дано:
Температура нагревательного элемента $t_2 = 800 \text{ °C}$
Сопротивление при этой температуре $R_2 = 48 \text{ Ом}$
Материал проволоки - никелин
Диаметр проволоки $d = 0.5 \text{ мм}$
Стандартная температура $t_1 = 20 \text{ °C}$
Удельное сопротивление никелина (при $t_1 = 20 \text{ °C}$) $\rho_1 = 0.40 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Температурный коэффициент сопротивления никелина $\alpha = 1 \cdot 10^{-4} \text{ K}^{-1}$

Перевод в систему СИ:
$d = 0.5 \text{ мм} = 0.5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:
Длину проволоки $\text{l}$.

Решение:

Для решения задачи необходимо определить длину $\text{l}$ никелиновой проволоки. Сопротивление проводника зависит от его геометрических размеров (длины $\text{l}$ и площади поперечного сечения $\text{S}$) и удельного сопротивления материала $\rho$. Также сопротивление зависит от температуры.

Зависимость сопротивления от температуры описывается формулой:$R_2 = R_1 (1 + \alpha (t_2 - t_1))$где $R_1$ — сопротивление при начальной температуре $t_1$ (примем $t_1 = 20 \text{ °C}$), а $R_2$ — сопротивление при конечной температуре $t_2$.

Сопротивление проводника при температуре $t_1$ связано с его размерами формулой:$R_1 = \rho_1 \frac{l}{S}$где $\rho_1$ — удельное сопротивление материала при температуре $t_1$.

План решения следующий:1. Найти сопротивление проволоки $R_1$ при стандартной температуре $t_1 = 20 \text{ °C}$.2. Вычислить площадь поперечного сечения проволоки $\text{S}$.3. Найти искомую длину проволоки $\text{l}$.

1. Выразим сопротивление $R_1$ из формулы температурной зависимости:$R_1 = \frac{R_2}{1 + \alpha (t_2 - t_1)}$Подставим известные значения:$R_1 = \frac{48}{1 + 1 \cdot 10^{-4} \cdot (800 - 20)} = \frac{48}{1 + 10^{-4} \cdot 780} = \frac{48}{1 + 0.078} = \frac{48}{1.078} \approx 44.53 \text{ Ом}$

2. Площадь поперечного сечения проволоки $\text{S}$ найдем по формуле площади круга:$S = \frac{\pi d^2}{4}$Подставим значение диаметра в СИ:$S = \frac{\pi (0.5 \cdot 10^{-3})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0.25 \cdot 10^{-6}}{4} \approx 0.1963 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

3. Теперь найдем длину проволоки $\text{l}$ из формулы сопротивления:$l = \frac{R_1 S}{\rho_1}$Подставим вычисленные и известные значения:$l = \frac{44.53 \text{ Ом} \cdot 0.1963 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{0.40 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} \approx \frac{8.741}{0.40} \text{ м} \approx 21.85 \text{ м}$

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем $l \approx 21.9$ м.

Ответ: для изготовления нагревательного элемента нужно взять никелиновую проволоку длиной 21.9 м.