Номер 1.47, страница 10 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.47, страница 10.

Условие.

1.47**. Найдите сопротивление между клеммами А и В бесконечной цепи (рис. 1.14). Сопротивления резисторов заданы на рисунке.

Рис. 1.14

Решение.

Для решения задач на нахождение сопротивления бесконечной цепи используется метод, основанный на её свойстве самоподобия: если от бесконечной цепи отсоединить одно звено, то оставшаяся часть цепи будет эквивалентна исходной.

а

Дано:

Бесконечная цепь, изображенная на рис. 1.14 а. Сопротивление каждого резистора в цепи равно $\text{r}$.

Найти:

Эквивалентное сопротивление цепи $R_a$ между клеммами А и В.

Решение:

Обозначим эквивалентное сопротивление всей бесконечной цепи как $R_a$. Если мы отделим первое звено (два горизонтальных резистора $\text{r}$ и один вертикальный $\text{r}$), то сопротивление оставшейся бесконечной части цепи также будет равно $R_a$.

Таким образом, исходную цепь можно представить как первое звено, к выходу которого подключено сопротивление $R_a$. Сопротивление части цепи, состоящей из вертикального резистора $\text{r}$ и подключенной к нему параллельно оставшейся части цепи $R_a$, будет равно:

$R_p = \frac{r \cdot R_a}{r + R_a}$

Полное сопротивление $R_a$ складывается из сопротивлений верхнего и нижнего горизонтальных резисторов первого звена и сопротивления $R_p$, соединенных последовательно:

$R_a = r + r + R_p = 2r + \frac{r R_a}{r + R_a}$

Решим это уравнение относительно $R_a$. Умножим обе части на $(r + R_a)$:

$R_a(r + R_a) = 2r(r + R_a) + r R_a$

$rR_a + R_a^2 = 2r^2 + 2rR_a + rR_a$

$R_a^2 + rR_a = 2r^2 + 3rR_a$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$R_a^2 - 2rR_a - 2r^2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$R_a = \frac{-(-2r) \pm \sqrt{(-2r)^2 - 4(1)(-2r^2)}}{2(1)} = \frac{2r \pm \sqrt{4r^2 + 8r^2}}{2} = \frac{2r \pm \sqrt{12r^2}}{2}$

$R_a = \frac{2r \pm 2r\sqrt{3}}{2} = r(1 \pm \sqrt{3})$

Так как сопротивление не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком «плюс».

Ответ: $R_a = r(1 + \sqrt{3})$.

б

Дано:

Бесконечная цепь, изображенная на рис. 1.14 б. Сопротивления резисторов в звене: верхний горизонтальный $\text{r}$, нижний горизонтальный $\text{3r}$, вертикальный $\text{2r}$.

Найти:

Эквивалентное сопротивление цепи $R_b$ между клеммами А и В.

Решение:

Аналогично пункту (а), обозначим искомое сопротивление как $R_b$. Сопротивление бесконечной цепи не изменится, если отсоединить от нее первое звено.

Сопротивление части цепи, состоящей из вертикального резистора $\text{2r}$ и подключенной к нему параллельно оставшейся части цепи с сопротивлением $R_b$, равно:

$R_p = \frac{2r \cdot R_b}{2r + R_b}$

Полное сопротивление $R_b$ равно сумме сопротивлений верхнего ($\text{r}$), нижнего ($\text{3r}$) резисторов и сопротивления $R_p$:

$R_b = r + 3r + R_p = 4r + \frac{2r R_b}{2r + R_b}$

Решим уравнение относительно $R_b$. Умножим обе части на $(2r + R_b)$:

$R_b(2r + R_b) = 4r(2r + R_b) + 2rR_b$

$2rR_b + R_b^2 = 8r^2 + 4rR_b + 2rR_b$

$R_b^2 + 2rR_b = 8r^2 + 6rR_b$

Приведем к стандартному квадратному виду:

$R_b^2 - 4rR_b - 8r^2 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$R_b = \frac{-(-4r) \pm \sqrt{(-4r)^2 - 4(1)(-8r^2)}}{2(1)} = \frac{4r \pm \sqrt{16r^2 + 32r^2}}{2} = \frac{4r \pm \sqrt{48r^2}}{2}$

$R_b = \frac{4r \pm 4r\sqrt{3}}{2} = 2r(1 \pm \sqrt{3})$

Поскольку сопротивление должно быть положительным, выбираем корень со знаком «плюс».

Ответ: $R_b = 2r(1 + \sqrt{3})$.

в

Дано:

Бесконечная цепь, изображенная на рис. 1.14 в. Сопротивление каждого резистора в цепи равно $\text{r}$.

Найти:

Эквивалентное сопротивление цепи $R_v$ между клеммами А и В.

Решение:

Обозначим искомое сопротивление $R_v$. В этой схеме можно заметить, что первый вертикальный резистор с сопротивлением $\text{r}$ подключен параллельно всей остальной части цепи.

Остальная часть цепи состоит из верхнего и нижнего горизонтальных резисторов $\text{r}$, соединенных последовательно с такой же бесконечной цепью, сопротивление которой равно $R_v$. Таким образом, сопротивление всей цепи, за исключением первого вертикального резистора, равно $r + r + R_v = 2r + R_v$.

Эквивалентное сопротивление всей цепи $R_v$ равно сопротивлению параллельного соединения первого вертикального резистора и остальной части цепи:

$R_v = \frac{r \cdot (2r + R_v)}{r + (2r + R_v)} = \frac{2r^2 + rR_v}{3r + R_v}$

Решим это уравнение относительно $R_v$. Умножим на $(3r + R_v)$:

$R_v(3r + R_v) = 2r^2 + rR_v$

$3rR_v + R_v^2 = 2r^2 + rR_v$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$R_v^2 + 2rR_v - 2r^2 = 0$

Найдем корни этого уравнения:

$R_v = \frac{-2r \pm \sqrt{(2r)^2 - 4(1)(-2r^2)}}{2(1)} = \frac{-2r \pm \sqrt{4r^2 + 8r^2}}{2} = \frac{-2r \pm \sqrt{12r^2}}{2}$

$R_v = \frac{-2r \pm 2r\sqrt{3}}{2} = r(-1 \pm \sqrt{3})$

Так как сопротивление должно быть положительным, выбираем решение $r(-1 + \sqrt{3})$.

Ответ: $R_v = r(\sqrt{3} - 1)$.