Номер 1.42, страница 9 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.42, страница 9.

Условие.

1.42. Металлическая проволока сопротивлением $8 \text{ Ом}$ изогнута в виде окружности (рис. 1.9). К точке A прикреплена неподвижная клемма. Вторую клемму B можно двигать вдоль проволоки без нарушения электрического контакта. Какое наибольшее сопротивление можно получить между клеммами A и B?

Рис. 1.9

Решение.

Дано:

$R_{общ} = 8 \text{ Ом}$

Найти:

$R_{max}$

Решение:

Когда клеммы А и В подключаются к проволоке, она оказывается разделенной на два участка. Эти два участка соединены параллельно друг другу.

Пусть сопротивление одного участка проволоки равно $R_1$, а другого – $R_2$. Поскольку клемма В может перемещаться, сопротивления $R_1$ и $R_2$ могут изменяться. Однако их сумма всегда остается постоянной и равной общему сопротивлению проволоки:

$R_1 + R_2 = R_{общ} = 8 \text{ Ом}$

Общее сопротивление $\text{R}$ между клеммами А и В для параллельно соединенных участков вычисляется по формуле:

$R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим в эту формулу значение $R_1 + R_2 = R_{общ}$:

$R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_{общ}}$

Чтобы найти максимальное значение $\text{R}$, выразим $R_2$ через $R_1$ из первого уравнения: $R_2 = R_{общ} - R_1$. Подставим это выражение в формулу для $\text{R}$:

$R(R_1) = \frac{R_1 \cdot (R_{общ} - R_1)}{R_{общ}}$

Мы получили функцию сопротивления $\text{R}$ от сопротивления одного из участков $R_1$. Эта функция является квадратичной (параболой, ветви которой направлены вниз), и ее максимальное значение достигается, когда произведение в числителе $R_1 \cdot (R_{общ} - R_1)$ максимально. Это происходит, когда оба сомножителя равны, то есть:

$R_1 = R_{общ} - R_1$

$2R_1 = R_{общ}$

$R_1 = \frac{R_{общ}}{2}$

Таким образом, максимальное сопротивление будет, когда клемма В находится в точке, диаметрально противоположной клемме А, и делит проволоку на два одинаковых участка с равными сопротивлениями.

Найдем сопротивления этих участков:

$R_1 = R_2 = \frac{8 \text{ Ом}}{2} = 4 \text{ Ом}$

Теперь вычислим максимальное эквивалентное сопротивление $R_{max}$:

$R_{max} = \frac{4 \text{ Ом} \cdot 4 \text{ Ом}}{4 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом}} = \frac{16 \text{ Ом}^2}{8 \text{ Ом}} = 2 \text{ Ом}$

Также можно подставить $R_1 = R_{общ}/2$ в выведенную ранее формулу:

$R_{max} = \frac{(R_{общ}/2) \cdot (R_{общ} - R_{общ}/2)}{R_{общ}} = \frac{(R_{общ}/2) \cdot (R_{общ}/2)}{R_{общ}} = \frac{R_{общ}^2 / 4}{R_{общ}} = \frac{R_{общ}}{4}$

$R_{max} = \frac{8 \text{ Ом}}{4} = 2 \text{ Ом}$

Ответ: Наибольшее сопротивление, которое можно получить между клеммами А и В, равно 2 Ом.