Номер 1.46, страница 10 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.46, страница 10.

Условие.

1.46. Сопротивления резисторов $R_1 = R_2 = R_4 = R$ (рис. 1.13). Определите сопротивление резистора $R_3$, равное общему сопротивлению участка $\text{AB}$.

Рис. 1.13

Решение.

Дано

$R_1 = R_2 = R_4 = R$

Общее сопротивление участка AB, $R_{AB}$, равно сопротивлению резистора $R_3$, то есть $R_{AB} = R_3$.

Найти:

$R_3$

Решение

Схема представляет собой последовательное соединение резисторов $R_1$, $R_4$ и участка, состоящего из параллельно соединенных резисторов $R_2$ и $R_3$.

Найдем сопротивление $R_{23}$ параллельно соединенных резисторов $R_2$ и $R_3$:

$\frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$

Подставим известное значение $R_2 = R$:

$\frac{1}{R_{23}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_3} = \frac{R_3 + R}{R \cdot R_3}$

Отсюда $R_{23} = \frac{R \cdot R_3}{R + R_3}$.

Общее сопротивление $R_{AB}$ всего участка цепи равно сумме сопротивлений последовательно соединенных элементов:

$R_{AB} = R_1 + R_{23} + R_4$

Подставим известные значения $R_1 = R_4 = R$ и выражение для $R_{23}$:

$R_{AB} = R + \frac{R \cdot R_3}{R + R_3} + R = 2R + \frac{R \cdot R_3}{R + R_3}$

По условию задачи, общее сопротивление равно $R_3$, то есть $R_{AB} = R_3$. Приравняем полученное выражение для $R_{AB}$ к $R_3$:

$R_3 = 2R + \frac{R \cdot R_3}{R + R_3}$

Решим это уравнение относительно $R_3$. Перенесем $\text{2R}$ в левую часть:

$R_3 - 2R = \frac{R \cdot R_3}{R + R_3}$

Умножим обе части на $(R + R_3)$:

$(R_3 - 2R)(R + R_3) = R \cdot R_3$

Раскроем скобки:

$R_3 \cdot R + R_3^2 - 2R \cdot R - 2R \cdot R_3 = R \cdot R_3$

$R_3^2 - R \cdot R_3 - 2R^2 = R \cdot R_3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $R_3$:

$R_3^2 - 2R \cdot R_3 - 2R^2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x = R_3$, $a = 1$, $b = -2R$, $c = -2R^2$. Найдем корни по формуле:

$R_3 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$R_3 = \frac{-(-2R) \pm \sqrt{(-2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2R^2)}}{2 \cdot 1}$

$R_3 = \frac{2R \pm \sqrt{4R^2 + 8R^2}}{2}$

$R_3 = \frac{2R \pm \sqrt{12R^2}}{2}$

$R_3 = \frac{2R \pm 2R\sqrt{3}}{2}$

$R_3 = R(1 \pm \sqrt{3})$

Так как сопротивление не может быть отрицательной величиной, а $1 - \sqrt{3} < 0$, мы выбираем корень со знаком плюс.

$R_3 = R(1 + \sqrt{3})$

Ответ: $R_3 = R(1 + \sqrt{3})$.