Номер 1.40, страница 8 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.40, страница 8.

Условие.

1.40. Найдите сопротивление участка цепи, схема которого представлена на рисунке 1.7, если сопротивления резисторов $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R_5 = 1 \text{ Ом}$.

Рис. 1.7

Решение.

Дано:

$R_1 = 1 \text{ Ом}$

$R_2 = 1 \text{ Ом}$

$R_3 = 1 \text{ Ом}$

$R_4 = 1 \text{ Ом}$

$R_5 = 1 \text{ Ом}$

Найти:

$R_{общ}$

Решение:

Данная схема представляет собой мостовое соединение резисторов, общее сопротивление которого нельзя рассчитать с помощью простых правил для последовательного и параллельного соединений. Для нахождения общего сопротивления воспользуемся методом узловых потенциалов (применение правил Кирхгофа).

Обозначим узлы схемы: A - верхний левый, B - нижний левый, C - верхний правый, D - нижний правый. Входные клеммы подключены к узлам A и B. Требуется найти эквивалентное сопротивление между этими узлами, $R_{AB}$.

Пусть к узлам A и B приложено напряжение $\text{U}$. Примем потенциал узла B равным нулю ($\phi_B = 0$), тогда потенциал узла A будет равен $\text{U}$ ($\phi_A = U$). Потенциалы в узлах C и D обозначим как $\phi_C$ и $\phi_D$ соответственно.

Составим уравнения на основе первого правила Кирхгофа (сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю) для узлов C и D. По условию все сопротивления равны, обозначим их как $R = 1 \text{ Ом}$.

Для узла C:

$\frac{\phi_A - \phi_C}{R_3} + \frac{\phi_D - \phi_C}{R_5} = 0$

Подставляя известные значения:

$\frac{U - \phi_C}{R} + \frac{\phi_D - \phi_C}{R} = 0$

$U - \phi_C + \phi_D - \phi_C = 0$

$2\phi_C - \phi_D = U \quad (1)$

Для узла D:

$\frac{\phi_A - \phi_D}{R_4} + \frac{\phi_B - \phi_D}{R_1} + \frac{\phi_C - \phi_D}{R_5} = 0$

Подставляя известные значения:

$\frac{U - \phi_D}{R} + \frac{0 - \phi_D}{R} + \frac{\phi_C - \phi_D}{R} = 0$

$U - \phi_D - \phi_D + \phi_C - \phi_D = 0$

$-\phi_C + 3\phi_D = U \quad (2)$

Получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2\phi_C - \phi_D = U \\ -\phi_C + 3\phi_D = U \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $\phi_D = 2\phi_C - U$ и подставим во второе:

$-\phi_C + 3(2\phi_C - U) = U$

$-\phi_C + 6\phi_C - 3U = U$

$5\phi_C = 4U \implies \phi_C = \frac{4}{5}U$

Теперь найдем $\phi_D$:

$\phi_D = 2\phi_C - U = 2(\frac{4}{5}U) - U = \frac{8}{5}U - U = \frac{3}{5}U$

Общий ток $I_{общ}$, входящий в узел A, равен сумме токов, протекающих через резисторы $R_2, R_3, R_4$:

$I_{общ} = I_{AB} + I_{AC} + I_{AD} = \frac{\phi_A - \phi_B}{R_2} + \frac{\phi_A - \phi_C}{R_3} + \frac{\phi_A - \phi_D}{R_4}$

$I_{общ} = \frac{U - 0}{R} + \frac{U - \frac{4}{5}U}{R} + \frac{U - \frac{3}{5}U}{R}$

$I_{общ} = \frac{1}{R}(U + \frac{1}{5}U + \frac{2}{5}U) = \frac{1}{R}(U + \frac{3}{5}U) = \frac{8U}{5R}$

Общее сопротивление цепи $R_{общ}$ найдем по закону Ома:

$R_{общ} = \frac{U}{I_{общ}} = \frac{U}{\frac{8U}{5R}} = \frac{5R}{8}$

Подставим значение $R = 1 \text{ Ом}$:

$R_{общ} = \frac{5 \cdot 1}{8} = \frac{5}{8} \text{ Ом} = 0.625 \text{ Ом}$

Ответ: $0.625 \text{ Ом}$.