Номер 1.53, страница 11 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.53, страница 11.

Условие.

1.53. При температуре 40 °С вольфрамовый проводник имеет сопротивление 50 Ом. При какой температуре его сопротивление будет 100 Ом?

Решение.

Дано:
Начальная температура, $t_1 = 40$ °C
Начальное сопротивление, $R_1 = 50$ Ом
Конечное сопротивление, $R_2 = 100$ Ом
Материал проводника: вольфрам.
Температурный коэффициент сопротивления вольфрама (справочное значение): $\alpha = 4.5 \cdot 10^{-3}$ °C⁻¹.

Перевод в систему СИ:
$T_1 = 40 + 273.15 = 313.15$ К
$R_1 = 50$ Ом
$R_2 = 100$ Ом
$\alpha = 4.5 \cdot 10^{-3}$ К⁻¹

Найти:
$t_2$ — ?

Решение:
Зависимость сопротивления металлического проводника от температуры в не слишком широком диапазоне температур можно считать линейной и выразить формулой:
$R = R_0 (1 + \alpha t)$
где $\text{R}$ – сопротивление при температуре $\text{t}$ в градусах Цельсия, $R_0$ – сопротивление при $\text{0}$ °C, а $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления.
Запишем два уравнения для двух указанных в задаче состояний:
Для начального состояния: $R_1 = R_0 (1 + \alpha t_1)$
Для конечного состояния: $R_2 = R_0 (1 + \alpha t_2)$
Для нахождения $t_2$ решим систему этих двух уравнений. Удобнее всего разделить второе уравнение на первое, чтобы избавиться от неизвестной величины $R_0$:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{R_0 (1 + \alpha t_2)}{R_0 (1 + \alpha t_1)} = \frac{1 + \alpha t_2}{1 + \alpha t_1}$
Из полученного выражения выразим искомую температуру $t_2$:
$\frac{R_2}{R_1}(1 + \alpha t_1) = 1 + \alpha t_2$
$\alpha t_2 = \frac{R_2}{R_1}(1 + \alpha t_1) - 1$
$t_2 = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{R_2}{R_1}(1 + \alpha t_1) - 1 \right)$
Подставим известные значения:
$t_2 = \frac{1}{4.5 \cdot 10^{-3}} \left( \frac{100}{50}(1 + 4.5 \cdot 10^{-3} \cdot 40) - 1 \right)$
$t_2 = \frac{1}{0.0045} \left( 2 \cdot (1 + 0.18) - 1 \right)$
$t_2 = \frac{1}{0.0045} (2 \cdot 1.18 - 1)$
$t_2 = \frac{1}{0.0045} (2.36 - 1)$
$t_2 = \frac{1.36}{0.0045} \approx 302.22$ °C
Округляем результат до десятых.
Ответ: $t_2 \approx 302.2$ °C.