Номер 1.57, страница 12 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.57, страница 12.

Условие.

1.57. Сила тока в электрической лампочке равна 200 мА. Диаметр вольфрамовой нити накала 0,02 мм, а её температура 200 °С. Найдите напряжённость электрического поля в нити.

Решение.

Дано:

Сила тока $I = 200 \text{ мА} = 0.2 \text{ А}$

Диаметр вольфрамовой нити $d = 0.02 \text{ мм} = 2 \times 10^{-5} \text{ м}$

Температура нити $t = 200^{\circ}\text{C}$

Материал нити: вольфрам

Удельное сопротивление вольфрама при $t_0 = 20^{\circ}\text{C}$ (справочное значение): $\rho_0 = 5.6 \times 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Температурный коэффициент сопротивления вольфрама (справочное значение): $\alpha = 4.5 \times 10^{-3} \text{ К}^{-1}$

Найти:

Напряжённость электрического поля в нити $\text{E}$.

Решение:

Напряжённость электрического поля $\text{E}$ в проводнике связана с плотностью тока $\text{j}$ и удельным сопротивлением материала $\rho$ через закон Ома в дифференциальной форме:

$E = \rho j$

Плотность тока $\text{j}$ — это отношение силы тока $\text{I}$ к площади поперечного сечения проводника $\text{S}$:

$j = \frac{I}{S}$

Поперечное сечение нити представляет собой круг, его площадь можно найти через диаметр $\text{d}$:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Удельное сопротивление вольфрама $\rho$ зависит от температуры по закону:

$\rho = \rho_0(1 + \alpha(t - t_0))$

где $\rho_0$ — удельное сопротивление при температуре $t_0 = 20^{\circ}\text{C}$, а $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления.

Объединим все формулы в одну для расчёта напряжённости электрического поля $\text{E}$:

$E = \rho j = \rho \frac{I}{S} = \frac{\rho_0(1 + \alpha(t - t_0)) I}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 \rho_0(1 + \alpha(t - t_0)) I}{\pi d^2}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$E = \frac{4 \cdot (5.6 \times 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (1 + 4.5 \times 10^{-3} \text{ К}^{-1} \cdot (200^{\circ}\text{C} - 20^{\circ}\text{C})) \cdot 0.2 \text{ А}}{\pi \cdot (2 \times 10^{-5} \text{ м})^2}$

Проведем вычисления:

$t - t_0 = 180^{\circ}\text{C}$

$1 + \alpha(t - t_0) = 1 + 4.5 \times 10^{-3} \cdot 180 = 1 + 0.81 = 1.81$

$E = \frac{4 \cdot 5.6 \times 10^{-8} \cdot 1.81 \cdot 0.2}{\pi \cdot 4 \times 10^{-10}} \text{ В/м}$

Сократим множитель 4 в числителе и знаменателе:

$E = \frac{5.6 \times 10^{-8} \cdot 1.81 \cdot 0.2}{\pi \times 10^{-10}} \text{ В/м} = \frac{5.6 \times 1.81 \cdot 0.2}{\pi} \times 10^2 \text{ В/м}$

$E = \frac{2.0272}{\pi} \times 100 \text{ В/м} \approx 0.6452 \times 100 \text{ В/м} \approx 64.5 \text{ В/м}$

Ответ: напряжённость электрического поля в нити равна примерно $64.5 \text{ В/м}$.