Номер 1.56, страница 11 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.56, страница 11.

Условие.

1.56*. На установке, схема которой приведена на рисунке 1.17, а, получена вольт-амперная характеристика лампы накаливания (рис. 1.17, б). Почему зависимость $I(U)$ нелинейная? Определите:

а) сопротивление спирали лампы в точках $\text{O}$, $\text{B}$ и $\text{A}$;

б) температуру вольфрамовой нити лампы в точке $\text{A}$, если в точке $\text{O}$ температура нити $20^{\circ}\text{C}$.

Рис. 1.17

Решение.

Зависимость силы тока от напряжения (вольт-амперная характеристика) для лампы накаливания является нелинейной, поскольку сопротивление её вольфрамовой нити зависит от температуры. При увеличении напряжения на лампе возрастает сила тока. Согласно закону Джоуля — Ленца, это приводит к увеличению мощности, выделяемой на нити в виде тепла ($P = U \cdot I$). В результате нить накаливания нагревается, и её электрическое сопротивление увеличивается. Для металлов, таких как вольфрам, сопротивление растет с температурой. Из-за роста сопротивления $\text{R}$ ток $\text{I}$ в соответствии с законом Ома ($I = U/R$) растёт медленнее, чем напряжение $\text{U}$. Это и приводит к искривлению графика, то есть к нелинейной зависимости $I(U)$.

Дано:

График зависимости $I(U)$ для лампы накаливания. Температура в точке O: $t_O = 20$ °C. Температурный коэффициент сопротивления вольфрама: $\alpha \approx 4,5 \cdot 10^{-3}$ °C^-1. Из графика определяем координаты точек: Для определения сопротивления в точке O ($R_O$) возьмем наклон касательной к графику в начале координат. Касательная проходит примерно через точку ($U=1$ В; $I=200$ мА = $0,2$ А). Точка B: $U_B = 2$ В, $I_B = 250$ мА = $0,250$ А. Точка A: $U_A = 8$ В, $I_A = 450$ мА = $0,450$ А.

Найти:

а) Сопротивление спирали лампы в точках O, B и A: $R_O, R_B, R_A$ - ?

б) Температуру вольфрамовой нити лампы в точке A: $t_A$ - ?

Решение:

а) Сопротивление в каждой точке находим по закону Ома для участка цепи: $R = U/I$.

Сопротивление в точке O ($R_O$) соответствует сопротивлению "холодной" нити. Его можно определить как обратную величину наклона касательной к графику в начале координат ($R = dU/dI$).

$R_O \approx \frac{\Delta U}{\Delta I} = \frac{1 \text{ В}}{200 \text{ мА}} = \frac{1 \text{ В}}{0,2 \text{ А}} = 5$ Ом.

Сопротивление в точке B:

$R_B = \frac{U_B}{I_B} = \frac{2 \text{ В}}{250 \text{ мА}} = \frac{2 \text{ В}}{0,250 \text{ А}} = 8$ Ом.

Сопротивление в точке A:

$R_A = \frac{U_A}{I_A} = \frac{8 \text{ В}}{450 \text{ мА}} = \frac{8 \text{ В}}{0,450 \text{ А}} = \frac{800}{45} \text{ Ом} = \frac{160}{9} \text{ Ом} \approx 17,8$ Ом.

Ответ: Сопротивление спирали в точке O составляет $R_O = 5$ Ом, в точке B – $R_B = 8$ Ом, в точке A – $R_A \approx 17,8$ Ом.

б) Для нахождения температуры воспользуемся формулой зависимости сопротивления от температуры:

$R = R_0(1 + \alpha(t - t_0))$

В нашем случае $R_0 = R_O$ при температуре $t_0 = t_O = 20$ °C. Мы ищем температуру $t_A$ в точке A, где сопротивление равно $R_A$.

$R_A = R_O(1 + \alpha(t_A - t_O))$

Выразим из этой формулы искомую температуру $t_A$:

$t_A = t_O + \frac{1}{\alpha} \left( \frac{R_A}{R_O} - 1 \right)$

Подставим числовые значения, используя более точное значение для $R_A = 160/9$ Ом:

$t_A = 20 + \frac{1}{4,5 \cdot 10^{-3}} \left( \frac{160/9}{5} - 1 \right) = 20 + \frac{1}{0,0045} \left( \frac{160}{45} - 1 \right) = 20 + \frac{1}{0,0045} \left( \frac{32}{9} - \frac{9}{9} \right) = 20 + \frac{23}{9 \cdot 0,0045} = 20 + \frac{23}{0,0405} \approx 20 + 567,9 \approx 588 \text{ °C}$

Ответ: Температура вольфрамовой нити лампы в точке А составляет приблизительно $588$ °C.