Номер 6.39, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Механические волны - номер 6.39, страница 134.

Условие.

6.39*. С одного из двух неподвижных кораблей излучается в воду ультразвуковой сигнал, который принимается в воде приёмником вто-рого корабля дважды через время $t_1$ и $t_2$ ($t_1 < t_2$) от момента выхода с первого корабля. Считая дно горизонтальным и скорость звука в воде равной $\text{u}$, определите глубину моря.

Решение.

Дано:

Время прихода первого сигнала: $t_1$

Время прихода второго сигнала: $t_2$

Скорость звука в воде: $\text{u}$

Условие: $t_1 < t_2$

Найти:

Глубину моря, $\text{h}$

Решение:

Приемник на втором корабле регистрирует два сигнала, потому что звук от источника на первом корабле приходит по двум разным траекториям. Поскольку $t_1 < t_2$, сигнал, пришедший за время $t_1$, прошел по кратчайшему пути, а сигнал, пришедший за время $t_2$, — по более длинному.

Кратчайший путь — это прямолинейный отрезок, соединяющий два корабля по поверхности воды. Обозначим расстояние между кораблями как $\text{L}$. Тогда путь, пройденный первым сигналом, равен $S_1 = L$. Время его распространения — $t_1$. Отсюда можно выразить расстояние между кораблями:

$L = u \cdot t_1$

Второй, более длинный путь, соответствует сигналу, который сначала дошел до дна, отразился от него и только потом достиг второго корабля. Для нахождения длины этого пути $S_2$ удобно использовать метод мнимых изображений. Представим, что источник звука (первый корабль) имеет свое зеркальное отражение относительно горизонтального дна. Тогда длина пути отраженного луча от первого корабля до второго будет равна длине прямого отрезка от мнимого источника до второго корабля.

Пусть глубина моря равна $\text{h}$. Тогда мнимое изображение первого корабля будет находиться на глубине $\text{h}$ под дном, то есть на общем вертикальном расстоянии $\text{2h}$ от второго корабля. Горизонтальное расстояние между мнимым источником и вторым кораблем остается равным $\text{L}$.

Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, катетами которого являются расстояние между кораблями $\text{L}$ и удвоенная глубина $\text{2h}$, а гипотенузой — путь $S_2$, получаем:

$S_2^2 = L^2 + (2h)^2$

Путь $S_2$ звук проходит за время $t_2$ со скоростью $\text{u}$, следовательно:

$S_2 = u \cdot t_2$

Возведем последнее выражение в квадрат и приравняем к предыдущему:

$(u \cdot t_2)^2 = L^2 + 4h^2$

В это уравнение подставим ранее найденное выражение для $L = u \cdot t_1$:

$u^2 t_2^2 = (u \cdot t_1)^2 + 4h^2$

$u^2 t_2^2 = u^2 t_1^2 + 4h^2$

Теперь выразим из этого уравнения искомую глубину $\text{h}$:

$4h^2 = u^2 t_2^2 - u^2 t_1^2$

$4h^2 = u^2 (t_2^2 - t_1^2)$

$h^2 = \frac{u^2 (t_2^2 - t_1^2)}{4}$

Извлекая квадратный корень, получаем окончательную формулу для глубины моря:

$h = \sqrt{\frac{u^2 (t_2^2 - t_1^2)}{4}} = \frac{u}{2} \sqrt{t_2^2 - t_1^2}$

Ответ: $h = \frac{u}{2} \sqrt{t_2^2 - t_1^2}$