Номер 6.35, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Механические волны - номер 6.35, страница 134.

Условие.

6.35. Когда наблюдатель воспринимает по звуку, что самолёт находится в зените, он видит его под углом $\alpha = 73^\circ$ к горизонту. С какой скоростью летит самолёт?

Решение.

Дано:

Угол, под которым наблюдатель видит самолёт к горизонту, $\alpha = 73^\circ$

Скорость звука в воздухе $c \approx 343$ м/с (стандартное значение при 20°C)

Найти:

Скорость самолёта $\text{v}$.

Решение:

Пусть самолёт летит на постоянной высоте $\text{h}$ с постоянной горизонтальной скоростью $\text{v}$. Наблюдатель находится на земле в точке О.

Когда наблюдатель слышит звук от самолёта, который был испущен в тот момент, когда самолёт находился в зените (точка Z, прямо над наблюдателем), сам самолёт уже успел переместиться в новую точку P. Это происходит потому, что звуку требуется время, чтобы достичь наблюдателя, в то время как свет доходит практически мгновенно.

Время $\text{t}$, за которое звук проходит расстояние $\text{h}$ от точки Z до наблюдателя O, равно:

$t = \frac{h}{c}$

За это же время $\text{t}$ самолёт пролетает горизонтальное расстояние $\text{L}$ от точки Z до точки P. Это расстояние равно:

$L = v \cdot t$

Подставим в это уравнение выражение для времени $\text{t}$:

$L = v \frac{h}{c}$

В тот момент, когда звук достигает наблюдателя, он видит самолёт в точке P под углом $\alpha$ к горизонту. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наблюдателем (O), проекцией самолёта на землю и самим самолётом (P). Катеты этого треугольника равны высоте полёта $\text{h}$ и пройденному расстоянию $\text{L}$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{L}$

Из этой формулы выразим расстояние $\text{L}$:

$L = \frac{h}{\tan(\alpha)}$

Теперь у нас есть два выражения для расстояния $\text{L}$. Приравняем их:

$v \frac{h}{c} = \frac{h}{\tan(\alpha)}$

Высота полёта $\text{h}$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому мы можем её сократить. После этого выразим искомую скорость самолёта $\text{v}$:

$\frac{v}{c} = \frac{1}{\tan(\alpha)}$

$v = \frac{c}{\tan(\alpha)}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \frac{343 \text{ м/с}}{\tan(73^\circ)} \approx \frac{343 \text{ м/с}}{3.2709} \approx 104.86 \text{ м/с}$

Округлим результат до трёх значащих цифр.

Ответ:

Скорость самолёта составляет примерно $105$ м/с.