Номер 6.31, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Механические волны - номер 6.31, страница 134.

Условие.

6.31*. Оцените время лобового столкновения двух стальных шари-ков радиусом 1 см каждый.

Решение.

Дано:
Материал шариков: сталь
Радиус каждого шарика, $R = 1$ см

Для решения задачи потребуются справочные данные для стали и необходимо сделать предположение о скорости шариков, так как она не указана в условии.
Перевод в систему СИ:
Радиус: $R = 0.01$ м.
Справочные и предполагаемые данные:
Плотность стали: $\rho \approx 7850$ кг/м³.
Модуль Юнга для стали: $E \approx 2 \cdot 10^{11}$ Па.
Коэффициент Пуассона для стали: $\nu \approx 0.3$.
Поскольку скорость шариков не задана, для оценки примем характерное значение скорости каждого шарика $v = 1$ м/с. Такая скорость достигается при падении с высоты около 5 см. Шарики движутся навстречу друг другу, поэтому их относительная скорость сближения $v_{rel} = 2v = 2$ м/с.

Найти:
Время лобового столкновения, $\tau$.

Решение:

Время столкновения — это промежуток времени от момента первого касания шариков до момента их полного разделения после упругого взаимодействия. Во время столкновения происходит деформация шариков, и их кинетическая энергия временно переходит в потенциальную энергию упругой деформации.

1. Модель столкновения. Взаимодействие упругих сфер при столкновении описывается теорией контактных деформаций Герца. Согласно этой теории, сила упругости $\text{F}$ нелинейно зависит от величины деформации $\text{x}$ (взаимного сближения центров шаров):

$F = K x^{3/2}$

где $\text{K}$ — коэффициент жёсткости, зависящий от упругих свойств материалов и геометрии шаров.

2. Определение максимальной деформации. В момент максимальной деформации $x_{max}$ относительная скорость шаров становится равной нулю. В этот момент вся начальная кинетическая энергия системы (в системе центра масс) переходит в потенциальную энергию упругой деформации $U_{max}$.

Начальная кинетическая энергия в системе центра масс:

$K_{in} = \frac{1}{2}m_{eff}v_{rel}^2$

где $m_{eff} = \frac{m \cdot m}{m+m} = \frac{m}{2}$ — приведённая масса системы, а $\text{m}$ — масса одного шарика.Массу шарика найдем через его объём и плотность:

$m = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3 = 7850 \cdot \frac{4}{3}\pi (0.01)^3 \approx 0.0329$ кг.

Тогда кинетическая энергия:

$K_{in} = \frac{1}{2} \cdot \frac{0.0329 \text{ кг}}{2} \cdot (2 \text{ м/с})^2 = 0.0329$ Дж.

Потенциальная энергия деформации по теории Герца связана с силой как $U(x) = \int_0^x F(x')dx'$, что дает:

$U(x) = \frac{2}{5} K x^{5/2}$

Из закона сохранения энергии $K_{in} = U_{max} = \frac{2}{5} K x_{max}^{5/2}$, откуда можно выразить максимальную деформацию:

$x_{max} = \left(\frac{5 K_{in}}{2K}\right)^{2/5}$

Коэффициент $\text{K}$ для двух одинаковых сфер определяется как $K = \frac{4}{3} E^* \sqrt{R^*}$, где $E^*$ — эффективный модуль Юнга, а $R^*$ — эффективный радиус кривизны.

$R^* = \frac{R \cdot R}{R+R} = \frac{R}{2} = \frac{0.01}{2} = 0.005$ м.

$E^* = \frac{E}{2(1-\nu^2)} = \frac{2 \cdot 10^{11}}{2(1-0.3^2)} = \frac{10^{11}}{0.91} \approx 1.099 \cdot 10^{11}$ Па.

Теперь вычислим $\text{K}$:

$K = \frac{4}{3} (1.099 \cdot 10^{11}) \sqrt{0.005} \approx 1.036 \cdot 10^{10}$ Н/м$^{3/2}$.

Подставим значения для вычисления $x_{max}$:

$x_{max} = \left(\frac{5 \cdot 0.0329}{2 \cdot 1.036 \cdot 10^{10}}\right)^{2/5} = (7.94 \cdot 10^{-12})^{0.4} \approx 3.8 \cdot 10^{-5}$ м.

Максимальная деформация составляет около 38 микрометров, что значительно меньше радиуса шарика, и это подтверждает применимость теории.

3. Оценка времени столкновения. Процесс столкновения можно рассматривать как половину периода нелинейных колебаний. Теория упругих столкновений даёт следующую формулу для оценки времени контакта:

$\tau \approx 2.94 \frac{x_{max}}{v_{rel}}$

Подставим наши значения:

$\tau \approx 2.94 \frac{3.8 \cdot 10^{-5} \text{ м}}{2 \text{ м/с}} \approx 5.6 \cdot 10^{-5}$ с.

Результат слабо зависит от начальной скорости (пропорционально $v^{-1/5}$), поэтому наша оценка является достаточно робастной.

Ответ: Время лобового столкновения двух стальных шариков радиусом 1 см составляет порядка $5.6 \cdot 10^{-5}$ с (56 микросекунд).