Номер 6.29, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Механические волны - номер 6.29, страница 134.

Условие.

6.29*. Плоская волна с частотой $\text{v}$ и длиной волны $\lambda$ имеет амплитуду $\text{A}$. Определите скорость распространения волны $\text{u}$; максимальную скорость частиц среды $v_{max}$.

Решение.

Дано:

Частота плоской волны: $\nu$

Длина волны: $\lambda$

Амплитуда волны: $\text{A}$

Найти:

Скорость распространения волны: $\text{u}$

Максимальная скорость частиц среды: $v_{max}$

Решение:

скорость распространения волны u

Скорость распространения волны $\text{u}$ связана с ее длиной $\lambda$ и частотой $\nu$ фундаментальным соотношением. Скорость волны — это расстояние, которое проходит любая точка с постоянной фазой (например, гребень волны) за единицу времени. За время, равное одному периоду колебаний $\text{T}$, волна распространяется на расстояние, равное одной длине волны $\lambda$. Следовательно, скорость волны можно определить как:

$u = \frac{\lambda}{T}$

Частота $\nu$ по определению является величиной, обратной периоду колебаний, то есть $ \nu = \frac{1}{T} $. Подставив это соотношение в формулу для скорости, получаем:

$u = \lambda \nu$

Ответ: $u = \lambda \nu$

максимальную скорость частиц среды v_max

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси $\text{x}$, описывает смещение $\text{s}$ частиц среды из положения равновесия в зависимости от координаты $\text{x}$ и времени $\text{t}$:

$s(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$

где $\text{A}$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая (круговая) частота, $\text{k}$ – волновое число, а $\phi_0$ – начальная фаза.

Скорость колебательного движения частиц среды $\text{v}$ в любой момент времени является первой производной от смещения по времени:

$v(x, t) = \frac{\partial s(x, t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [A \cos(\omega t - kx + \phi_0)] = -A\omega \sin(\omega t - kx + \phi_0)$

Максимальное значение скорости частиц (амплитуда скорости), $v_{max}$, достигается в моменты, когда значение функции синуса равно $\pm 1$. Таким образом, максимальная скорость по модулю равна:

$v_{max} = |-A\omega (\pm 1)| = A\omega$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi \nu$

Подставим это выражение в формулу для максимальной скорости частиц:

$v_{max} = A(2\pi \nu) = 2\pi A \nu$

Ответ: $v_{max} = 2\pi A \nu$