Номер 6.22, страница 133 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Механические волны - номер 6.22, страница 133.

Условие.

6.22*. Колебания источника волны, находящегося в воде, описываются уравнением $x = 2\cos 50\pi t$ (см). Найдите:

а) длину волны;

б) уравнение плоской бегущей волны.

Решение.

Дано:

Уравнение колебаний источника: $x = 2\cos(50\pi t)$ (см)

Среда распространения волны: вода

Скорость звука в воде $v \approx 1500$ м/с (справочное значение)

Перевод в СИ:

Амплитуда колебаний, из уравнения: $A = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Угловая частота, из уравнения: $\omega = 50\pi \text{ рад/с}$.

Найти:

а) длину волны $\lambda$;

б) уравнение плоской бегущей волны.

Решение:

а) длину волны

Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как $x = A\cos(\omega t + \phi_0)$. Сравнивая это выражение с данным в условии уравнением $x = 2\cos(50\pi t)$, мы можем определить параметры колебаний источника:

Амплитуда $A = 2$ см.

Угловая частота $\omega = 50\pi$ рад/с.

Линейная частота колебаний $\text{f}$ связана с угловой частотой $\omega$ соотношением $\omega = 2\pi f$. Отсюда находим частоту:

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{50\pi}{2\pi} = 25$ Гц.

Длина волны $\lambda$ связана со скоростью ее распространения в среде $\text{v}$ и частотой колебаний $\text{f}$ формулой:

$\lambda = \frac{v}{f}$.

Подставим числовые значения, используя справочное значение скорости звука в воде $v \approx 1500$ м/с:

$\lambda = \frac{1500 \text{ м/с}}{25 \text{ Гц}} = 60$ м.

Ответ: Длина волны равна 60 м.

б) уравнение плоской бегущей волны

Уравнение плоской бегущей волны, которая распространяется от источника в положительном направлении оси $\text{r}$, имеет вид:

$y(r, t) = A\cos(\omega t - kr)$,

где $y(r, t)$ – смещение частиц среды в точке $\text{r}$ в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ – амплитуда волны, $\omega$ – ее угловая частота, а $\text{k}$ – волновое число.

Амплитуда и угловая частота волны равны амплитуде и угловой частоте источника колебаний:

$A = 2$ см,

$\omega = 50\pi$ рад/с.

Волновое число $\text{k}$ определяется через длину волны $\lambda$:

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$.

Используя значение $\lambda$, найденное в пункте (а), получаем:

$k = \frac{2\pi}{60 \text{ м}} = \frac{\pi}{30}$ рад/м.

Теперь подставим все найденные параметры ($\text{A}$, $\omega$, $\text{k}$) в уравнение бегущей волны. Для удобства оставим амплитуду в сантиметрах, как в исходном уравнении.

$y(r, t) = 2\cos(50\pi t - \frac{\pi}{30}r)$.

В этом уравнении смещение $\text{y}$ выражено в сантиметрах, время $\text{t}$ – в секундах, а расстояние $\text{r}$ от источника – в метрах.

Ответ: Уравнение плоской бегущей волны $y(r, t) = 2\cos(50\pi t - \frac{\pi}{30}r)$ (см).