Номер 6.28, страница 133 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Механические волны - номер 6.28, страница 133.

Условие.

6.28*. Плоская волна распространяется в среде со скоростью $\text{u}$. Амплитуда волны $\text{A}$, длина волны $\lambda$. Определите максимальную скорость частиц среды $v_{\text{max}}$.

Решение.

Дано:

$\text{u}$ - скорость распространения волны

$\text{A}$ - амплитуда волны

$λ$ - длина волны

Найти:

$v_{max}$ - максимальная скорость частиц среды

Решение:

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в среде, можно записать в виде:

$y(x, t) = A \sin(\omega t - kx)$

где $y(x, t)$ — смещение частицы среды в точке с координатой $\text{x}$ в момент времени $\text{t}$, $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (круговая) частота, $\text{k}$ — волновое число.

Скорость $\text{v}$ колебательного движения частиц среды — это первая производная от смещения по времени:

$v(t) = \frac{\partial y(x, t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(A \sin(\omega t - kx)) = A\omega \cos(\omega t - kx)$

Максимальное значение скорости $v_{max}$ достигается, когда значение косинуса равно $\pm1$. Следовательно, амплитудное (максимальное) значение скорости равно:

$v_{max} = A\omega$

Теперь необходимо выразить циклическую частоту $\omega$ через данные в условии величины: скорость волны $\text{u}$ и длину волны $λ$.

Скорость распространения волны $\text{u}$ связана с длиной волны $λ$ и частотой $\text{f}$ соотношением:

$u = λf$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\text{f}$ как:

$\omega = 2\pi f$

Из первой формулы выразим частоту $\text{f}$:

$f = \frac{u}{λ}$

Подставим это выражение в формулу для циклической частоты:

$\omega = 2\pi \frac{u}{λ}$

Наконец, подставим полученное выражение для $\omega$ в формулу для максимальной скорости частиц:

$v_{max} = A \cdot (2\pi \frac{u}{λ}) = \frac{2\pi A u}{λ}$

Ответ: $v_{max} = \frac{2\pi A u}{λ}$