Номер 6.30, страница 134 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Механические волны - номер 6.30, страница 134.

Условие.

6.30*. Колебания источника плоских волн описываются уравнением $x = 0,3\sin 800\pi t$ (м). Определите длину волны, если скорость волны в данной среде 500 м/с. Напишите уравнение бегущей волны и уравнение отражённой волны, если отражение происходит:

а) от более плотной среды;

б) от менее плотной среды.

Решение.

Дано:

Уравнение колебаний источника: $x(t) = 0,3 \sin(800\pi t)$ (м)

Скорость волны: $v = 500$ м/с

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Длину волны $\lambda$.

Уравнение бегущей волны $y(x, t)$.

Уравнение отражённой волны в случаях а) и б).

Решение:

1. Из уравнения колебаний источника $x(t) = 0,3 \sin(800\pi t)$ находим амплитуду $\text{A}$ и циклическую (угловую) частоту $\omega$. Общий вид уравнения гармонических колебаний $x(t) = A \sin(\omega t)$.

Амплитуда $A = 0,3$ м.

Циклическая частота $\omega = 800\pi$ рад/с.

2. Определяем линейную частоту колебаний $\text{f}$ через циклическую:

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{800\pi}{2\pi} = 400$ Гц.

3. Находим длину волны $\lambda$, используя связь между скоростью волны $\text{v}$, частотой $\text{f}$ и длиной волны $\lambda = v/f$:

$\lambda = \frac{500 \text{ м/с}}{400 \text{ Гц}} = 1,25$ м.

4. Запишем уравнение бегущей волны. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси $\text{x}$ в положительном направлении, имеет вид $y(x, t) = A \sin(\omega t - kx)$, где $\text{k}$ — волновое число.

Волновое число $\text{k}$ связано с длиной волны: $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.

$k = \frac{2\pi}{1,25 \text{ м}} = 1,6\pi$ рад/м.

Таким образом, уравнение бегущей (падающей) волны:

$y(x, t) = 0,3 \sin(800\pi t - 1,6\pi x)$ (м).

5. Теперь рассмотрим отражение волны. Отражённая волна будет распространяться в противоположном направлении (вдоль оси $\text{x}$ в отрицательном направлении), поэтому её уравнение будет иметь вид $y_{отр}(x, t) = A \sin(\omega t + kx + \delta)$, где $\delta$ — сдвиг фазы при отражении.

а) от более плотной среды

При отражении от более плотной среды происходит потеря полуволны, то есть фаза волны изменяется на $\pi$. Следовательно, $\delta = \pi$.

Уравнение отражённой волны: $y_{отр,а}(x, t) = 0,3 \sin(800\pi t + 1,6\pi x + \pi)$.

Используя тригонометрическое тождество $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$y_{отр,а}(x, t) = -0,3 \sin(800\pi t + 1,6\pi x)$ (м).

Ответ: Длина волны $\lambda = 1,25$ м. Уравнение бегущей волны: $y(x, t) = 0,3 \sin(800\pi t - 1,6\pi x)$ (м). Уравнение отражённой волны: $y_{отр}(x, t) = -0,3 \sin(800\pi t + 1,6\pi x)$ (м).

б) от менее плотной среды

При отражении от менее плотной среды сдвиг фазы не происходит, то есть $\delta = 0$.

Уравнение отражённой волны: $y_{отр,б}(x, t) = 0,3 \sin(800\pi t + 1,6\pi x)$ (м).

Ответ: Длина волны $\lambda = 1,25$ м. Уравнение бегущей волны: $y(x, t) = 0,3 \sin(800\pi t - 1,6\pi x)$ (м). Уравнение отражённой волны: $y_{отр}(x, t) = 0,3 \sin(800\pi t + 1,6\pi x)$ (м).