Номер 7.165, страница 168 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.165, страница 168.

Условие.

7.165°. На клетчатой бумаге выполните построение изображения отрезка, перпендикулярного главной оптической оси тонкой линзы. Фокусное расстояние линзы возьмите длиной три клетки. Длина отрезка — две клетки. Постройте изображение:

а) перевёрнутое увеличенное в 2 раза;

б) прямое уменьшенное в 2 раза;

в) мнимое высотой 3 клетки;

г) действительное высотой 1 клетка.

Решение.

В задаче требуется построить изображение отрезка, для чего сначала необходимо выполнить расчёты, чтобы определить тип линзы (собирающая или рассеивающая) и расстояние от предмета до линзы ($\text{d}$) для каждого из заданных случаев.

Дано:
Фокусное расстояние (модуль), $|F| = 3$ клетки.
Высота предмета, $h = 2$ клетки.

Найти:
Для каждого случая определить тип линзы, рассчитать расстояние до предмета $\text{d}$ и описать построение изображения.

Для решения используются формула тонкой линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$ и формула линейного увеличения $\Gamma = \frac{H}{h} = -\frac{f}{d}$.
Положительное значение $\text{F}$ соответствует собирающей линзе, отрицательное — рассеивающей. Положительное значение $\text{f}$ соответствует действительному изображению, отрицательное — мнимому.

а) перевёрнутое увеличенное в 2 раза

Решение:
Перевёрнутое изображение всегда является действительным, его можно получить с помощью собирающей линзы. Значит, $F = +3$ клетки. Увеличение для перевёрнутого изображения отрицательно: $\Gamma = -2$. Высота изображения $H = \Gamma \cdot h = -2 \cdot 2 = -4$ клетки. Знак "минус" означает, что изображение перевёрнуто. Из формулы увеличения находим связь между $\text{f}$ и $\text{d}$: $\Gamma = -\frac{f}{d} \Rightarrow -2 = -\frac{f}{d} \Rightarrow f = 2d$. Подставляем в формулу тонкой линзы, чтобы найти $\text{d}$: $\frac{1}{d} + \frac{1}{2d} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{3}{2d} = \frac{1}{3} \Rightarrow 2d = 9 \Rightarrow d = 4.5$ клетки. Расстояние до изображения: $f = 2d = 2 \cdot 4.5 = 9$ клеток.
Построение:
1. На клетчатой бумаге начертить главную оптическую ось.
2. Отметить положение собирающей линзы перпендикулярно оси.
3. С обеих сторон от линзы на оси отметить фокусы $\text{F}$ на расстоянии 3 клетки.
4. Расположить предмет (стрелку) высотой 2 клетки на расстоянии $d = 4.5$ клетки от линзы.
5. Из верхней точки предмета построить ход двух лучей: один параллельно главной оптической оси (после линзы он пойдет через задний фокус), второй — через оптический центр (он не изменит направления).
6. На пересечении этих лучей за линзой получится вершина изображения. Изображение будет действительным, перевёрнутым, высотой 4 клетки, на расстоянии 9 клеток от линзы.

Ответ: Предмет нужно расположить на расстоянии 4.5 клетки от собирающей линзы с фокусным расстоянием 3 клетки. Построение выполняется стандартным методом с использованием двух лучей.

б) прямое уменьшенное в 2 раза

Решение:
Прямое и уменьшенное изображение даёт только рассеивающая линза, при этом изображение будет мнимым. Значит, $F = -3$ клетки. Увеличение для прямого изображения положительно: $\Gamma = +0.5$. Высота изображения $H = \Gamma \cdot h = 0.5 \cdot 2 = 1$ клетка. Из формулы увеличения: $\Gamma = -\frac{f}{d} \Rightarrow 0.5 = -\frac{f}{d} \Rightarrow f = -0.5d$. (Знак "минус" для $\text{f}$ подтверждает, что изображение мнимое). Подставляем в формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{-0.5d} = \frac{1}{-3} \Rightarrow \frac{1}{d} - \frac{2}{d} = -\frac{1}{3} \Rightarrow -\frac{1}{d} = -\frac{1}{3} \Rightarrow d = 3$ клетки. Расстояние до изображения: $f = -0.5 \cdot 3 = -1.5$ клетки.
Построение:
1. Начертить главную оптическую ось и рассеивающую линзу.
2. Отметить фокусы $\text{F}$ на расстоянии 3 клетки с обеих сторон от линзы.
3. Расположить предмет высотой 2 клетки на расстоянии $d = 3$ клетки от линзы.
4. Из верхней точки предмета построить ход двух лучей: один параллельно главной оптической оси (его продолжение после линзы пройдет через передний фокус), второй — через оптический центр.
5. На пересечении продолжения преломленного луча и второго луча получится вершина мнимого изображения. Оно будет прямым, высотой 1 клетка, расположено на расстоянии 1.5 клетки от линзы с той же стороны, что и предмет.

Ответ: Предмет нужно расположить на расстоянии 3 клетки от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием 3 клетки.

в) мнимое высотой 3 клетки

Решение:
Изображение мнимое и увеличенное ($H = 3$ клетки > $h = 2$ клетки). Такое изображение даёт собирающая линза, если предмет находится между ней и фокусом. Значит, $F = +3$ клетки. Мнимое изображение, полученное в собирающей линзе, является прямым. Увеличение $\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{3}{2} = 1.5$. Из формулы увеличения: $\Gamma = -\frac{f}{d} \Rightarrow 1.5 = -\frac{f}{d} \Rightarrow f = -1.5d$. Подставляем в формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{-1.5d} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1.5 - 1}{1.5d} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{0.5}{1.5d} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{3d} = \frac{1}{3} \Rightarrow d = 1$ клетка. Расстояние до изображения: $f = -1.5 \cdot 1 = -1.5$ клетки.
Построение:
1. Начертить главную оптическую ось и собирающую линзу.
2. Отметить фокусы $\text{F}$ на расстоянии 3 клетки.
3. Расположить предмет высотой 2 клетки на расстоянии $d = 1$ клетка от линзы.
4. Построить ход двух лучей от вершины предмета. Лучи за линзой разойдутся.
5. Продолжить преломленные лучи в обратном направлении (до линзы). Точка их пересечения даст вершину мнимого изображения. Оно будет прямым, высотой 3 клетки, на расстоянии 1.5 клетки от линзы с той же стороны, что и предмет.

Ответ: Предмет нужно расположить на расстоянии 1 клетка от собирающей линзы с фокусным расстоянием 3 клетки.

г) действительное высотой 1 клетка

Решение:
Действительное изображение может дать только собирающая линза. Значит, $F = +3$ клетки. Изображение уменьшенное ($H = 1$ клетка < $h = 2$ клетки). Действительное изображение всегда перевёрнутое. Увеличение $\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{-1}{2} = -0.5$. Из формулы увеличения: $\Gamma = -\frac{f}{d} \Rightarrow -0.5 = -\frac{f}{d} \Rightarrow f = 0.5d$. Подставляем в формулу тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{0.5d} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{d} + \frac{2}{d} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{3}{d} = \frac{1}{3} \Rightarrow d = 9$ клеток. Расстояние до изображения: $f = 0.5 \cdot 9 = 4.5$ клетки.
Построение:
1. Начертить главную оптическую ось и собирающую линзу.
2. Отметить фокусы $\text{F}$ на расстоянии 3 клетки.
3. Расположить предмет высотой 2 клетки на расстоянии $d = 9$ клеток от линзы (за двойным фокусом).
4. Построить ход двух лучей от вершины предмета.
5. На пересечении лучей за линзой получится вершина действительного изображения. Оно будет перевёрнутым, уменьшенным, высотой 1 клетка, на расстоянии 4.5 клетки от линзы.

Ответ: Предмет нужно расположить на расстоянии 9 клеток от собирающей линзы с фокусным расстоянием 3 клетки.