Номер 7.170, страница 170 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.170, страница 170.

Условие.

7.170. Небольшой предмет расположен на главной оптической оси тонкой линзы на двойном фокусном расстоянии от неё. Предмет начинают приближать к фокусу линзы. Как изменяются при этом оптическая сила, расстояние от линзы до изображения и размер изображения, если линза:

а) собирающая;

б) рассеивающая?

Решение.

Оптическая сила линзы $\text{D}$ является величиной, обратной её фокусному расстоянию $\text{F}$, и определяется по формуле $D = 1/F$. Поскольку в ходе эксперимента сама линза не изменяется (её форма и материал остаются прежними), её фокусное расстояние $\text{F}$ является постоянной величиной. Следовательно, оптическая сила линзы $\text{D}$ также не изменяется ни для собирающей, ни для рассеивающей линзы.

а) собирающая

Для собирающей линзы фокусное расстояние $\text{F}$ считается положительным. Предмет перемещается из начального положения на двойном фокусном расстоянии, $d_1 = 2F$, и приближается к фокусу, то есть его расстояние $\text{d}$ до линзы уменьшается ($d \to F$, при этом $d > F$).

Для определения характеристик изображения воспользуемся формулой тонкой линзы: $1/d + 1/f = 1/F$, где $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения.

Выразим расстояние $\text{f}$ от линзы до изображения: $1/f = 1/F - 1/d = (d - F)/(dF)$, откуда $f = dF/(d - F)$.

В начальном положении, при $d = 2F$, расстояние до изображения составляет $f_1 = (2F \cdot F) / (2F - F) = 2F^2/F = 2F$.

Когда предмет приближается к фокусу, расстояние $\text{d}$ уменьшается, приближаясь к $\text{F}$. При этом знаменатель дроби $(d - F)$ стремится к нулю, оставаясь положительным. Это приводит к тому, что значение $\text{f}$ неограниченно возрастает ($f \to +\infty$). Таким образом, расстояние от линзы до изображения увеличивается.

Размер изображения связан с размером предмета через поперечное увеличение линзы $\Gamma = H_{из}/H_{пр}$, где $H_{из}$ — размер изображения, а $H_{пр}$ — размер предмета. Увеличение также можно выразить как $\Gamma = f/d$.

Подставим выражение для $\text{f}$: $\Gamma = (dF / (d - F)) / d = F / (d - F)$.

В начальном положении при $d = 2F$, увеличение $\Gamma_1 = F / (2F - F) = 1$. Изображение равно по размеру предмету.

Когда предмет приближается к фокусу ($d \to F$), знаменатель $(d - F)$ стремится к нулю, и, следовательно, увеличение $\Gamma$ стремится к бесконечности. Это означает, что размер изображения увеличивается.

Ответ: Оптическая сила не изменяется, расстояние от линзы до изображения увеличивается, размер изображения увеличивается.

б) рассеивающая

Для рассеивающей линзы фокусное расстояние $\text{F}$ считается отрицательным, $F = -|F|$. Предмет перемещается от расстояния $d_1 = 2|F|$ к фокусу, то есть расстояние $\text{d}$ уменьшается, стремясь к $|F|$ ($\text{d}$ изменяется от $2|F|$ до $|F|$).

Формула тонкой линзы для рассеивающей линзы имеет вид: $1/d + 1/f = -1/|F|$.

Выразим $\text{f}$: $1/f = -1/|F| - 1/d = -(d + |F|) / (d|F|)$, откуда $f = -d|F| / (d + |F|)$.

Отрицательный знак означает, что изображение является мнимым и располагается по ту же сторону от линзы, что и предмет. Расстояние от линзы до изображения равно $|f| = d|F| / (d + |F|)$.

В начальном положении, при $d = 2|F|$, расстояние до изображения составляет $|f_1| = (2|F| \cdot |F|) / (2|F| + |F|) = 2|F|/3$.

Когда предмет достигает фокусного расстояния, $d = |F|$, расстояние до изображения становится равным $|f_2| = (|F| \cdot |F|) / (|F| + |F|) = |F|/2$.

Поскольку $\text{d}$ уменьшается от $2|F|$ до $|F|$, а $2|F|/3 > |F|/2$, расстояние от линзы до изображения $|f|$ уменьшается.

Теперь рассмотрим размер изображения. Модуль поперечного увеличения $|\Gamma| = |f/d|$.

$|\Gamma| = |(-d|F| / (d + |F|)) / d| = |F| / (d + |F|)$.

В начальном положении при $d = 2|F|$, увеличение $|\Gamma_1| = |F| / (2|F| + |F|) = 1/3$.

В конечном положении при $d = |F|$, увеличение $|\Gamma_2| = |F| / (|F| + |F|) = 1/2$.

Поскольку $1/2 > 1/3$, при уменьшении расстояния $\text{d}$ от предмета до линзы, модуль увеличения $|\Gamma|$ возрастает. Следовательно, размер изображения увеличивается.

Ответ: Оптическая сила не изменяется, расстояние от линзы до изображения уменьшается, размер изображения увеличивается.