Номер 7.175, страница 170 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.175, страница 170.

Условие.

7.175. Из стекла с показателем преломления 1,54 требуется изготовить двояковыпуклую линзу с фокусным расстоянием 10 см. Каковы должны быть радиусы кривизны поверхностей линзы, если известно, что один из них в 1,5 раза больше другого?

Решение.

Дано:

Показатель преломления стекла, $n = 1,54$.

Фокусное расстояние линзы, $F = 10 \text{ см}$.

Соотношение радиусов кривизны, $R_2 = 1,5 \cdot R_1$.

Тип линзы: двояковыпуклая.

Перевод в систему СИ:

$F = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$.

Найти:

Радиусы кривизны поверхностей линзы $R_1$ и $R_2$.

Решение:

Для определения радиусов кривизны линзы используется формула тонкой линзы (также известная как формула шлифовщика линз), которая связывает фокусное расстояние линзы с показателем преломления ее материала и радиусами кривизны поверхностей:

$\frac{1}{F} = (n - 1) \cdot (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$

В этой формуле $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы, $\text{n}$ — показатель преломления материала линзы относительно окружающей среды (для воздуха $n_{возд} \approx 1$), а $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны сферических поверхностей. Для двояковыпуклой (собирающей) линзы фокусное расстояние $\text{F}$ является положительной величиной, и радиусы кривизны $R_1$ и $R_2$ также принимаются положительными.

Согласно условию задачи, один из радиусов в 1,5 раза больше другого. Запишем это соотношение как $R_2 = 1,5 \cdot R_1$.

Подставим это соотношение в формулу линзы:

$\frac{1}{F} = (n - 1) \cdot (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{1,5 R_1})$

Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{R_1} + \frac{1}{1,5 R_1} = \frac{1,5 + 1}{1,5 R_1} = \frac{2,5}{1,5 R_1}$

Подставим полученное выражение обратно в формулу линзы и используем известные числовые значения. Для удобства будем производить вычисления в сантиметрах.

$\frac{1}{10} = (1,54 - 1) \cdot \frac{2,5}{1,5 R_1}$

$\frac{1}{10} = 0,54 \cdot \frac{2,5}{1,5 R_1}$

Вычислим произведение в числителе правой части:

$0,54 \cdot 2,5 = 1,35$

Уравнение примет вид:

$\frac{1}{10} = \frac{1,35}{1,5 R_1}$

Из этого уравнения выразим $R_1$:

$1,5 R_1 = 10 \cdot 1,35$

$1,5 R_1 = 13,5$

$R_1 = \frac{13,5}{1,5} = 9 \text{ см}$

Теперь, зная $R_1$, можем найти $R_2$:

$R_2 = 1,5 \cdot R_1 = 1,5 \cdot 9 = 13,5 \text{ см}$

Ответ: радиусы кривизны поверхностей линзы должны быть равны 9 см и 13,5 см.