Номер 7.168, страница 169 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.168, страница 169.

Условие.

7.168. На рисунке 7.40 даны положение главной оптической оси линзы, источник света $\text{S}$ и его изображение $S_1$ в линзе. Найдите построением положение оптического центра линзы и её фокусов.

Рис. 7.40

Решение.

Для определения положения оптического центра и фокусов линзы в каждом случае используются два основных свойства лучей в тонкой линзе:

1. Луч света, проходящий через оптический центр линзы, не меняет своего направления. Следовательно, источник света $\text{S}$, его изображение $S_1$ и оптический центр линзы $\text{O}$ лежат на одной прямой. Оптический центр $\text{O}$ — это точка пересечения прямой $SS_1$ с главной оптической осью.

2. Луч света, исходящий из источника $\text{S}$ параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через её задний главный фокус $\text{F}$ (для собирающей линзы) или его продолжение проходит через передний главный фокус $\text{F}$ (для рассеивающей линзы).

Плоскость линзы перпендикулярна главной оптической оси и проходит через её оптический центр $\text{O}$.

а)

1. Проведём прямую через источник $\text{S}$ и его изображение $S_1$. Точка пересечения этой прямой с главной оптической осью является оптическим центром $\text{O}$. Примем сторону клетки за единицу длины. Источник $\text{S}$ находится в точке с координатами $(-3, 2)$, изображение $S_1$ — в точке $(3, -1)$, а главная оптическая ось совпадает с осью $\text{Ox}$. Прямая $SS_1$ пересекает оптическую ось в точке $\text{O}$ с координатой $x=1$.

2. Так как источник и изображение находятся по разные стороны от плоскости линзы (которая проходит через $\text{O}$ в точке $x=1$), изображение является действительным, а линза — собирающей.

3. Для нахождения фокуса проведём из точки $\text{S}$ луч, параллельный главной оптической оси. Этот луч пересекает плоскость линзы в точке $P(1, 2)$. После преломления луч должен пройти через изображение $S_1$. Соединим прямой точки $\text{P}$ и $S_1$. Точка пересечения этой прямой $PS_1$ с главной оптической осью является главным фокусом $\text{F}$. Координата этой точки $x = 7/3 \approx 2.33$.

Ответ: Оптический центр $\text{O}$ находится на главной оптической оси на расстоянии 1 клетки вправо от начала координат. Линза собирающая. Главный фокус $\text{F}$ находится на расстоянии $f = F_x - O_x = 7/3 - 1 = 4/3$ клетки от оптического центра.

б)

1. Соединим прямой точки $S(-2, 2)$ и $S_1(4, -1)$. Точка пересечения этой прямой с главной оптической осью ($y=0$) даёт положение оптического центра $\text{O}$. Расчет показывает, что это точка с координатой $x=2$.

2. Источник и изображение находятся по разные стороны от линзы (расположенной в $x=2$), следовательно, изображение действительное, а линза — собирающая.

3. Проведём луч из $\text{S}$ параллельно оси до пересечения с линзой в точке $P(2, 2)$. Соединим точку $\text{P}$ с изображением $S_1$. Прямая $PS_1$ пересекает главную оптическую ось в точке фокуса $\text{F}$. Координата этой точки $x=10/3 \approx 3.33$.

Ответ: Оптический центр $\text{O}$ находится на главной оптической оси в точке с координатой $x=2$. Линза собирающая. Фокусное расстояние $f = F_x - O_x = 10/3 - 2 = 4/3$ клетки.

в)

1. Проведём прямую через точки $S(-1, 2)$ и $S_1(4, 1)$. Она пересекает главную оптическую ось ($y=0$) в точке $\text{O}$ с координатой $x=9$.

2. Источник $\text{S}$ и изображение $S_1$ находятся по одну сторону от плоскости линзы (в $x=9$). Следовательно, изображение мнимое. Так как мнимое изображение прямое (и $\text{S}$, и $S_1$ находятся над осью) и расположено дальше от линзы, чем предмет, линза является рассеивающей.

3. Проведём луч из $\text{S}$ параллельно оси до линзы в точке $P(9, 2)$. После преломления в рассеивающей линзе продолжение этого луча должно пройти через мнимое изображение $S_1$. Таким образом, преломленный луч лежит на прямой, проходящей через $S_1$ и $\text{P}$. Продолжение этого преломленного луча в обратную сторону пересекает главную оптическую ось в мнимом фокусе $\text{F}$. Координата этой точки $x=-1$.

Ответ: Оптический центр $\text{O}$ находится на главной оптической оси в точке с координатой $x=9$. Линза рассеивающая. Фокусное расстояние $f = |O_x - F_x| = |9 - (-1)| = 10$ клеток.

г)

1. Главная оптическая ось наклонена. Проведём прямую через точки $S(-3, 1)$ и $S_1(3, 2)$. Точка пересечения $\text{O}$ этой прямой с главной оптической осью является оптическим центром. Расчеты показывают, что $\text{O}$ имеет координаты $(6, 2.5)$.

2. Линза проходит через точку $\text{O}$ перпендикулярно главной оптической оси. И источник $\text{S}$, и изображение $S_1$ находятся по одну сторону от линзы, значит, изображение мнимое, а линза — рассеивающая.

3. Проведём луч из $\text{S}$ параллельно главной оптической оси до пересечения с плоскостью линзы в точке $\text{P}$. Преломленный луч должен идти так, чтобы его продолжение в обратную сторону проходило через мнимое изображение $S_1$. Таким образом, преломленный луч лежит на прямой $S_1P$. Пересечение этой прямой с главной оптической осью дает положение фокуса $\text{F}$.

Ответ: Оптический центр $\text{O}$ находится в точке с координатами $(6, 2.5)$. Линза рассеивающая. Фокус $\text{F}$ находится в точке с координатами $(27/17, 95/68)$, то есть примерно $(1.59, 1.40)$.

д)

1. Соединим прямой точки $S(-1, 2)$ и $S_1(4, -2)$. Точка пересечения этой прямой с главной оптической осью ($y=0$) есть оптический центр $\text{O}$. Его координата $x=1.5$.

2. Источник и изображение находятся по разные стороны от линзы (в $x=1.5$), значит, изображение действительное, а линза — собирающая.

3. Проведём луч из $\text{S}$ параллельно оси до линзы в точке $P(1.5, 2)$. Соединим $\text{P}$ и $S_1$. Прямая $PS_1$ пересекает главную оптическую ось в фокусе $\text{F}$. Координата этой точки $x=2.75$.

Ответ: Оптический центр $\text{O}$ находится на главной оптической оси в точке с координатой $x=1.5$. Линза собирающая. Фокусное расстояние $f = F_x - O_x = 2.75 - 1.5 = 1.25$ клетки.

е)

В данном случае возникает противоречие с законами геометрической оптики. Главная оптическая ось проходит через точки $(-3, 3)$ и $(3, -3)$, то есть описывается уравнением $y=-x$.

Источник света $\text{S}$ имеет координаты $(-2, 2)$. Подставив эти координаты в уравнение оси ($2 = -(-2)$), видим, что точка $\text{S}$ лежит на главной оптической оси.

Согласно законам оптики, если точечный источник света находится на главной оптической оси, его изображение также должно лежать на этой же оси. Однако изображение $S_1$ имеет координаты $(2, -1)$, и для этой точки $y \neq -x$ (так как $-1 \neq -2$). Точка $S_1$ не лежит на главной оптической оси.

Такая ситуация невозможна для центрированной оптической системы (одиночной линзы).

Ответ: Построение невозможно, так как условие задачи противоречиво. Источник $\text{S}$ лежит на главной оптической оси, а его изображение $S_1$ — нет, что нарушает законы геометрической оптики.