Номер 7.174, страница 170 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.174, страница 170.

Условие.

7.174*. Найдите фокусное расстояние изготовленной из стекла (флинт) линзы, изображённой на рисунке 7.42, если $AB = 10 \text{ см}$, $CD = 1 \text{ см}$. Линзу считать тонкой. Каково будет фокусное расстояние этой линзы в воде?

Рис. 7.42

Решение.

Дано:

Диаметр линзы $AB = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Толщина линзы $CD = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
Материал линзы: флинт (тип стекла)
Показатель преломления флинтгласа $n_л = 1.65$ (справочное значение)
Показатель преломления воздуха $n_{вз} \approx 1$
Показатель преломления воды $n_{вд} = 1.33$ (справочное значение)

Найти:

Фокусное расстояние линзы в воздухе $F_{вз}$
Фокусное расстояние линзы в воде $F_{вд}$

Решение:

Линза, изображенная на рисунке, является плоско-выпуклой. Одна ее поверхность плоская (соответствует хорде AB), а другая — сферическая (соответствует дуге ADB). Для определения фокусного расстояния линзы необходимо сначала найти радиус кривизны $\text{R}$ её сферической поверхности.

Рассмотрим геометрическое сечение линзы. Отрезок $\text{CD}$ является высотой (сагиттой) сферического сегмента, а половина отрезка $\text{AB}$ является половиной хорды. Пусть $a = AB/2$ и $h = CD$. Связь между радиусом сферы $\text{R}$, высотой сегмента $\text{h}$ и половиной хорды $\text{a}$ выражается формулой:

$R = \frac{a^2 + h^2}{2h}$

Подставим известные значения в систему СИ:

$a = \frac{AB}{2} = \frac{0.1 \text{ м}}{2} = 0.05 \text{ м}$

$h = CD = 0.01 \text{ м}$

$R = \frac{(0.05 \text{ м})^2 + (0.01 \text{ м})^2}{2 \cdot 0.01 \text{ м}} = \frac{0.0025 \text{ м}^2 + 0.0001 \text{ м}^2}{0.02 \text{ м}} = \frac{0.0026 \text{ м}^2}{0.02 \text{ м}} = 0.13 \text{ м}$

Таким образом, радиус кривизны сферической поверхности линзы составляет 13 см.

Найдите фокусное расстояние изготовленной из стекла (флинт) линзы, изображённой на рисунке 7.42, если AB = 10 см, CD = 1 см. Линзу считать тонкой.

Фокусное расстояние тонкой линзы определяется по формуле изготовителя линз:

$\frac{1}{F} = \left(\frac{n_л}{n_с} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

где $n_л$ — показатель преломления материала линзы, $n_с$ — показатель преломления окружающей среды, $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны поверхностей линзы.

Для нашей плоско-выпуклой линзы одна поверхность сферическая с радиусом $R_1 = R = 0.13$ м, а вторая — плоская, для которой радиус кривизны $R_2 = \infty$.

Когда линза находится в воздухе, $n_с = n_{вз} \approx 1$.

$\frac{1}{F_{вз}} = \left(\frac{n_л}{n_{вз}} - 1\right)\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}\right) = (n_л - 1)\frac{1}{R}$

Вычислим фокусное расстояние в воздухе:

$F_{вз} = \frac{R}{n_л - 1} = \frac{0.13 \text{ м}}{1.65 - 1} = \frac{0.13 \text{ м}}{0.65} = 0.2 \text{ м}$

Ответ: Фокусное расстояние линзы в воздухе равно 20 см.

Каково будет фокусное расстояние этой линзы в воде?

Теперь линза находится в воде, поэтому показатель преломления окружающей среды $n_с = n_{вд} = 1.33$. Используем ту же формулу изготовителя линз:

$\frac{1}{F_{вд}} = \left(\frac{n_л}{n_{вд}} - 1\right)\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}\right) = \left(\frac{n_л - n_{вд}}{n_{вд}}\right)\frac{1}{R}$

Вычислим фокусное расстояние в воде:

$F_{вд} = \frac{n_{вд} \cdot R}{n_л - n_{вд}} = \frac{1.33 \cdot 0.13 \text{ м}}{1.65 - 1.33} = \frac{0.1729 \text{ м}}{0.32} \approx 0.5403 \text{ м}$

Округляя, получаем $F_{вд} \approx 54$ см.

Ответ: Фокусное расстояние этой линзы в воде будет приблизительно 54 см.