Номер 7.179, страница 170 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.179, страница 170.

Условие.

7.179. Предмет находится перед рассеивающей линзой на расстоянии $\text{mF}$, где $\text{F}$ — её фокусное расстояние. На каком расстоянии от линзы получится мнимое изображение и во сколько раз оно будет меньше самого предмета?

Решение.

Дано:

Тип линзы: рассеивающая
Расстояние от предмета до линзы: $d = mF$
Фокусное расстояние линзы (по модулю): $\text{F}$

Найти:

1. Расстояние от линзы до изображения - $f'$
2. Во сколько раз изображение меньше предмета - $\text{k}$

Решение:

На каком расстоянии от линзы получится мнимое изображение

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F_{lens}}$

где $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения, а $F_{lens}$ — фокусное расстояние линзы.

Согласно правилу знаков, для рассеивающей линзы фокусное расстояние принимается отрицательным: $F_{lens} = -F$. Расстояние до предмета по условию задачи составляет $d = mF$.

Подставим эти значения в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{mF} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F}$

Теперь выразим из этого уравнения величину $\frac{1}{f}$, чтобы найти расстояние до изображения:

$\frac{1}{f} = -\frac{1}{F} - \frac{1}{mF}$

Приводя правую часть к общему знаменателю $\text{mF}$, получаем:

$\frac{1}{f} = -\left(\frac{m}{mF} + \frac{1}{mF}\right) = -\frac{m+1}{mF}$

Отсюда находим $\text{f}$:

$f = -\frac{mF}{m+1}$

Отрицательный знак в результате означает, что изображение является мнимым и расположено с той же стороны от линзы, что и предмет. Расстояние от линзы до изображения $f'$ равно модулю этого значения.

Ответ: $\frac{mF}{m+1}$.

и во сколько раз оно будет меньше самого предмета?

Чтобы определить, во сколько раз изображение меньше предмета, найдем линейное увеличение линзы $\Gamma$. Оно определяется по формуле:

$\Gamma = -\frac{f}{d}$

Подставим в эту формулу известные и найденные нами значения $d = mF$ и $f = -\frac{mF}{m+1}$:

$\Gamma = - \frac{-\frac{mF}{m+1}}{mF} = \frac{\frac{mF}{m+1}}{mF} = \frac{1}{m+1}$

Линейное увеличение $\Gamma$ равно отношению размера изображения $\text{h}$ к размеру предмета $\text{H}$, то есть $\Gamma = \frac{h}{H}$. Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти, во сколько раз изображение меньше предмета, то есть найти отношение $k = \frac{H}{h}$. Эта величина является обратной к увеличению.

$k = \frac{1}{\Gamma} = \frac{1}{\frac{1}{m+1}} = m+1$

Ответ: в $m+1$ раз.