Номер 7.176, страница 170 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.176, страница 170.

Условие.

7.176. В экране сделано круглое отверстие диаметром 8 см, через которое проходит параллельный пучок света. В отверстие вставили тонкую линзу с фокусным расстоянием 25 см. Постройте ход лучей через линзу и рассчитайте диаметр светового пятна на экране, расположенном на расстоянии 10 см за линзой, если линза:

а) собирающая;

б) рассеивающая.

Решение.

Дано:

Диаметр отверстия (и линзы), $D = 8$ см
Фокусное расстояние линзы, $|F| = 25$ см
Расстояние от линзы до экрана, $l = 10$ см

$D = 0.08$ м
$|F| = 0.25$ м
$l = 0.10$ м

Найти:

$d_a$ — диаметр светового пятна для собирающей линзы
$d_b$ — диаметр светового пятна для рассеивающей линзы

Решение:

На линзу падает параллельный пучок света, ограниченный диаметром отверстия $\text{D}$. Для нахождения диаметра светового пятна $\text{d}$ на экране, расположенном на расстоянии $\text{l}$ за линзой, воспользуемся методом подобных треугольников, которые образуются крайними лучами пучка и главной оптической осью.

а) собирающая линза

Параллельные лучи света после прохождения через собирающую линзу преломляются и сходятся в ее заднем фокусе, который находится на расстоянии $\text{F}$ от линзы. Так как экран расположен на расстоянии $l < F$, пучок света еще не успеет сойтись в точку, и на экране образуется световое пятно.

Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники, образованные ходом крайнего луча. Большой треугольник имеет катеты, равные фокусному расстоянию $\text{F}$ и радиусу линзы $R = D/2$. Меньший треугольник, отсекаемый плоскостью экрана, имеет катеты, равные $F-l$ и радиусу светового пятна $r_a = d_a/2$.

Из подобия треугольников следует:$ \frac{r_a}{R} = \frac{F-l}{F} $Подставив $r_a = d_a/2$ и $R = D/2$, получим:$ \frac{d_a/2}{D/2} = \frac{F-l}{F} \implies d_a = D \cdot \frac{F-l}{F} $

Выполним расчет:$ d_a = 8 \text{ см} \cdot \frac{25 \text{ см} - 10 \text{ см}}{25 \text{ см}} = 8 \cdot \frac{15}{25} = 8 \cdot 0.6 = 4.8 \text{ см} $

Ответ: диаметр светового пятна для собирающей линзы равен 4,8 см.

б) рассеивающая линза

Параллельные лучи света после прохождения через рассеивающую линзу преломляются и выходят из нее расходящимся пучком. Продолжения этих лучей пересекаются в мнимом (переднем) фокусе линзы, который находится на расстоянии $|F|$ от линзы со стороны падения света.

Рассмотрим подобные прямоугольные треугольники. Меньший треугольник (мнимый) имеет катеты, равные фокусному расстоянию $|F|$ и радиусу линзы $R = D/2$. Больший треугольник, образованный реальными расходящимися лучами, имеет катеты, равные $|F|+l$ и радиусу светового пятна на экране $r_b = d_b/2$.

Из подобия треугольников следует:$ \frac{r_b}{R} = \frac{|F|+l}{|F|} $Подставив $r_b = d_b/2$ и $R = D/2$, получим:$ \frac{d_b/2}{D/2} = \frac{|F|+l}{|F|} \implies d_b = D \cdot \frac{|F|+l}{|F|} $

Выполним расчет:$ d_b = 8 \text{ см} \cdot \frac{25 \text{ см} + 10 \text{ см}}{25 \text{ см}} = 8 \cdot \frac{35}{25} = 8 \cdot 1.4 = 11.2 \text{ см} $

Ответ: диаметр светового пятна для рассеивающей линзы равен 11,2 см.