Номер 7.171, страница 170 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 7. Геометрическая оптика. Линзы - номер 7.171, страница 170.

Условие.

7.171. Какую тонкую линзу с фокусным расстоянием $\text{F}$ нужно взять и где расположить относительно предмета, чтобы получить изображение:

а) перевёрнутое уменьшенное в 2 раза;

б) мнимое увеличенное в 2 раза;

в) прямое уменьшенное в 2 раза?

Решение.

Дано:

Фокусное расстояние линзы: $\text{F}$

а) Изображение перевёрнутое, уменьшенное в 2 раза. Поперечное увеличение $\Gamma_а = -1/2$.

б) Изображение мнимое, увеличенное в 2 раза. Поперечное увеличение $\Gamma_б = +2$.

в) Изображение прямое, уменьшенное в 2 раза. Поперечное увеличение $\Gamma_в = +1/2$.

Найти:

Тип линзы (собирающая или рассеивающая) и расстояние от предмета до линзы $\text{d}$ для каждого случая.

Решение:

Для решения задачи будем использовать формулу тонкой линзы и формулу поперечного увеличения:

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F}$ (1)

$\Gamma = -\frac{f'}{d}$ (2)

где $\text{d}$ – расстояние от предмета до линзы, $f'$ – расстояние от линзы до изображения, $\text{F}$ – фокусное расстояние линзы (для собирающей линзы $F > 0$, для рассеивающей $F < 0$), $\Gamma$ – поперечное увеличение.

а) перевёрнутое уменьшенное в 2 раза

Перевёрнутое изображение означает, что увеличение отрицательно ($\Gamma < 0$), а уменьшенное в 2 раза — что его модуль равен $1/2$. Таким образом, $\Gamma = -1/2$.

Из формулы увеличения (2) выразим расстояние до изображения $f'$:

$-\frac{1}{2} = -\frac{f'}{d} \Rightarrow f' = \frac{d}{2}$

Поскольку расстояние до предмета $\text{d}$ всегда положительно, то и $f'$ положительно. Это означает, что изображение является действительным. Действительное, перевёрнутое изображение может дать только собирающая линза, следовательно, её фокусное расстояние $F > 0$.

Подставим полученное выражение для $f'$ в формулу тонкой линзы (1):

$\frac{1}{d} + \frac{1}{d/2} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d} + \frac{2}{d} = \frac{1}{F}$

$\frac{3}{d} = \frac{1}{F}$

Отсюда находим искомое расстояние от предмета до линзы:

$d = 3F$

Ответ: Нужно взять собирающую линзу ($F>0$) и расположить предмет на расстоянии $d=3F$ от неё.

б) мнимое увеличенное в 2 раза

Мнимое изображение, получаемое с помощью одной линзы от действительного предмета, всегда является прямым, поэтому увеличение положительно ($\Gamma > 0$). Увеличенное в 2 раза означает, что $|\Gamma|=2$. Таким образом, $\Gamma = +2$.

Из формулы увеличения (2) выразим $f'$:

$2 = -\frac{f'}{d} \Rightarrow f' = -2d$

Знак минус у $f'$ подтверждает, что изображение мнимое. Увеличенное мнимое изображение даёт только собирающая линза, когда предмет расположен между линзой и её фокусом. Следовательно, $F>0$.

Подставим выражение для $f'$ в формулу тонкой линзы (1):

$\frac{1}{d} + \frac{1}{-2d} = \frac{1}{F}$

$\frac{2 - 1}{2d} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{2d} = \frac{1}{F}$

Отсюда находим расстояние от предмета до линзы:

$d = \frac{F}{2}$

Ответ: Нужно взять собирающую линзу ($F>0$) и расположить предмет на расстоянии $d=F/2$ от неё.

в) прямое уменьшенное в 2 раза

Прямое изображение означает $\Gamma > 0$, уменьшенное в 2 раза — $|\Gamma| = 1/2$. Таким образом, $\Gamma = +1/2$.

Из формулы увеличения (2) выразим $f'$:

$\frac{1}{2} = -\frac{f'}{d} \Rightarrow f' = -\frac{d}{2}$

Знак минус у $f'$ означает, что изображение мнимое. Прямое, мнимое и уменьшенное изображение даёт только рассеивающая линза. Следовательно, её фокусное расстояние отрицательно, $F < 0$.

Подставим выражение для $f'$ в формулу тонкой линзы (1):

$\frac{1}{d} + \frac{1}{-d/2} = \frac{1}{F}$

$\frac{1}{d} - \frac{2}{d} = \frac{1}{F}$

$-\frac{1}{d} = \frac{1}{F}$

Отсюда находим расстояние от предмета до линзы:

$d = -F$

Поскольку для рассеивающей линзы $F < 0$, расстояние $\text{d}$ является положительной величиной, равной модулю фокусного расстояния ($d = |F|$).

Ответ: Нужно взять рассеивающую линзу ($F<0$) и расположить предмет на расстоянии $d=-F$ от неё.