номер 191, страница 62, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Абылкасымова, Кучер

191. Какие две цифры нужно приписать справа к числу $2017$, чтобы получилось число, делящееся на $99$?

Пусть две цифры, которые нужно приписать справа к числу 2017, это $\text{a}$ (первая, цифра десятков) и $\text{b}$ (вторая, цифра единиц). Тогда мы получим шестизначное число вида $2017ab$.

Чтобы полученное число делилось на 99, оно должно делиться одновременно и на 9, и на 11, поскольку числа 9 и 11 взаимно просты. Применим признаки делимости на 9 и на 11.

Согласно признаку делимости на 9, сумма цифр числа должна быть кратна 9. Сумма цифр нашего числа равна: $S = 2 + 0 + 1 + 7 + a + b = 10 + a + b$ Поскольку $\text{a}$ и $\text{b}$ — это цифры (от 0 до 9), их сумма $a+b$ может принимать значения от 0 до 18. Следовательно, значение $\text{S}$ находится в диапазоне от $10+0=10$ до $10+18=28$. Единственные числа в этом диапазоне, кратные 9, — это 18 и 27. Это дает нам два возможных условия для суммы $a+b$: либо $a + b = 8$, либо $a + b = 17$.

Согласно признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах (считая справа налево), и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна быть кратна 11. Для числа $2017ab$ эта разность составляет: $(b + 7 + 0) - (a + 1 + 2) = b - a + 4$ Значение этой разности должно быть кратно 11. Так как $\text{a}$ и $\text{b}$ — цифры, разность $b-a$ находится в диапазоне от $-9$ до $\text{9}$. Тогда выражение $b-a+4$ находится в диапазоне от $-5$ до $13$. Единственные числа в этом диапазоне, кратные 11, — это 0 и 11. Это дает нам еще два возможных условия: либо $a - b = 4$ (из $b-a+4=0$), либо $b - a = 7$ (из $b-a+4=11$).

Теперь необходимо найти пару цифр $(a, b)$, которая удовлетворяет одному из условий для делимости на 9 и одному из условий для делимости на 11. Рассмотрим возможные комбинации, решая системы уравнений.

Если $a + b = 8$ и $a - b = 4$, то сложив эти два уравнения, получим $2a = 12$, откуда $a=6$. Подставив это значение в первое уравнение, найдем $b = 8 - 6 = 2$. Пара $(a,b) = (6,2)$ является решением, так как 6 и 2 — цифры.

Проверим остальные комбинации. Если $a + b = 8$ и $b - a = 7$, то при сложении уравнений получаем $2b = 15$, что дает нецелое $b=7.5$. Если $a + b = 17$ и $a - b = 4$, то при сложении получаем $2a = 21$, что дает нецелое $a=10.5$. Наконец, если $a + b = 17$ и $b - a = 7$, то при сложении получаем $2b = 24$, что дает $b=12$, а это не является цифрой. Ни одна из этих комбинаций не дает решения.

Таким образом, единственно возможный вариант — это когда приписываются цифры 6 и 2. В результате получается число 201762, которое делится на 99 ($201762 \div 99 = 2038$).

Ответ: 62.